Matematika A3a 2008/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonosság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonosság) |
||
20. sor: | 20. sor: | ||
folytonosak (az egyik az ||.||<sub>'''C'''</sub>,||.||<sub>'''C'''</sub>, a másik a ||.||<sub>'''C'''×'''C'''</sub>,||.||<sub>'''C'''</sub> normapárok szerint). | folytonosak (az egyik az ||.||<sub>'''C'''</sub>,||.||<sub>'''C'''</sub>, a másik a ||.||<sub>'''C'''×'''C'''</sub>,||.||<sub>'''C'''</sub> normapárok szerint). | ||
− | + | Mi több, a komplex számok legjellegzetesebb algebrai-topológiai tulajdonsága, hogy a komplex számok | |
:<math>(a+b\mathrm{i})\cdot (c+d\mathrm{i})=_{\mathrm{def}}(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}</math> | :<math>(a+b\mathrm{i})\cdot (c+d\mathrm{i})=_{\mathrm{def}}(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}</math> | ||
+ | szorzása is '''R'''-lineáris, így folytonos. |
A lap 2008. szeptember 6., 18:54-kori változata
Topológia C-ben
C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R2 síkon, a következő megfeleltetésekkel:
a vektortérműveletek pedig:
- vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)
- valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)
C-ben tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az R2 sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a C-beli nyílt halmazokat, azaz C topológiáját. A gömbök tehát a Gauss-számsík körlapjai:
ahol z ∈ C, r > 0 valós szám.
Világos, hogy akármilyen R2-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a C gömbjeinek, mert R2-ben minden norma ugyanazt a topológiát származtatja. Mi a ||.||2-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki.
Folytonosság
Egy f : C C függvény folytonossága ezennel értelmezve van éspedig nem más, mint az R2-beli ||.||2 norma szerinti folytonosság. (HF: fogalmazzuk meg a C C függvények folytonosságának epszilon-deltás definícióját!)
Lineáris (jobban mondva R-lineáris), RN RM függvény folytonos, így a műveltek folytonosak lesznek:
és
folytonosak (az egyik az ||.||C,||.||C, a másik a ||.||C×C,||.||C normapárok szerint).
Mi több, a komplex számok legjellegzetesebb algebrai-topológiai tulajdonsága, hogy a komplex számok
szorzása is R-lineáris, így folytonos.