Matematika A3a 2008/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonosság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonosság) |
||
22. sor: | 22. sor: | ||
Mi több, a komplex számok legjellegzetesebb algebrai-topológiai tulajdonsága, hogy a komplex számok | Mi több, a komplex számok legjellegzetesebb algebrai-topológiai tulajdonsága, hogy a komplex számok | ||
:<math>(a+b\mathrm{i})\cdot (c+d\mathrm{i})=_{\mathrm{def}}(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}</math> | :<math>(a+b\mathrm{i})\cdot (c+d\mathrm{i})=_{\mathrm{def}}(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}</math> | ||
− | szorzása is '''R'''-lineáris, így folytonos. | + | szorzása is mindkét változójában '''R'''-lineáris, így folytonos. |
+ | |||
+ | Szemléletessé tehetjük a két fenti példát, ha a két művelet geometriai jelentését tekintjük. A hozzáadás eltolás, a komplex számmal szorzás forgatva nyújtás, így a gömbi környzeteket olyan alakzatokba képezik, melyek geoetriai okokból mutatják a folytonosságot: | ||
+ | :<math>w+B_r(z_0)=B_r(w+z_0)</math> | ||
+ | :<math>w\cdot B_r(z_0)\subseteq B_{r\cdot|w|}(wz_0)</math> |
A lap 2008. szeptember 6., 21:38-kori változata
Topológia C-ben
C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R2 síkon, a következő megfeleltetésekkel:
a vektortérműveletek pedig:
- vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)
- valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)
C-ben tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az R2 sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a C-beli nyílt halmazokat, azaz C topológiáját. A gömbök tehát a Gauss-számsík körlapjai:
ahol z ∈ C, r > 0 valós szám.
Világos, hogy akármilyen R2-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a C gömbjeinek, mert R2-ben minden norma ugyanazt a topológiát származtatja. Mi a ||.||2-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki.
Folytonosság
Egy f : C C függvény folytonossága ezennel értelmezve van éspedig nem más, mint az R2-beli ||.||2 norma szerinti folytonosság. (HF: fogalmazzuk meg a C C függvények folytonosságának epszilon-deltás definícióját!)
Lineáris (jobban mondva R-lineáris), RN RM függvény folytonos, így a műveltek folytonosak lesznek:
és
folytonosak (az egyik az ||.||C,||.||C, a másik a ||.||C×C,||.||C normapárok szerint).
Mi több, a komplex számok legjellegzetesebb algebrai-topológiai tulajdonsága, hogy a komplex számok
szorzása is mindkét változójában R-lineáris, így folytonos.
Szemléletessé tehetjük a két fenti példát, ha a két művelet geometriai jelentését tekintjük. A hozzáadás eltolás, a komplex számmal szorzás forgatva nyújtás, így a gömbi környzeteket olyan alakzatokba képezik, melyek geoetriai okokból mutatják a folytonosságot:
- w + Br(z0) = Br(w + z0)