Matematika A3a 2008/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonosság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonosság) |
||
25. sor: | 25. sor: | ||
Szemléletessé tehetjük a két fenti példát, ha a két művelet geometriai jelentését tekintjük. A hozzáadás eltolás, a komplex számmal szorzás forgatva nyújtás, így a gömbi környzeteket olyan alakzatokba képezik, melyek geoetriai okokból mutatják a folytonosságot: | Szemléletessé tehetjük a két fenti példát, ha a két művelet geometriai jelentését tekintjük. A hozzáadás eltolás, a komplex számmal szorzás forgatva nyújtás, így a gömbi környzeteket olyan alakzatokba képezik, melyek geoetriai okokból mutatják a folytonosságot: | ||
− | :<math>w+B_r(z_0)=B_r(w+z_0)</math> | + | :<math>w+B_r(z_0)=B_r(w+z_0)\,</math> |
:<math>w\cdot B_r(z_0)\subseteq B_{r\cdot|w|}(wz_0)</math> | :<math>w\cdot B_r(z_0)\subseteq B_{r\cdot|w|}(wz_0)</math> | ||
+ | ==='''R'''-differenciálhatóság=== | ||
+ | Egy ''f'' : '''C''' <math>\to</math> '''C''' függvény abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy egy '''R'''<sup>N</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup> függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény '''R'''-differenciálható, és '''R'''-differenciálja az identitás: | ||
+ | :<math>a_w:z\mapsto w+ z\,</math> akkor <math>\mathrm{d}_\mathbf{R}(a_w)z=z</math> | ||
+ | A komplex számmal szorzás '''R'''-differenciálját közvetlenül a definíciójából számíthatjuk ki: | ||
+ | :<math>m_w:z\mapsto w\cdot z\,</math> akkor <math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix} | ||
+ | w_1 & -w_2\\ | ||
+ | w_2 & w_1 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | </math> |
A lap 2008. szeptember 6., 21:51-kori változata
Topológia C-ben
C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R2 síkon, a következő megfeleltetésekkel:
a vektortérműveletek pedig:
- vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)
- valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)
C-ben tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az R2 sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a C-beli nyílt halmazokat, azaz C topológiáját. A gömbök tehát a Gauss-számsík körlapjai:
ahol z ∈ C, r > 0 valós szám.
Világos, hogy akármilyen R2-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a C gömbjeinek, mert R2-ben minden norma ugyanazt a topológiát származtatja. Mi a ||.||2-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki.
Folytonosság
Egy f : C C függvény folytonossága ezennel értelmezve van éspedig nem más, mint az R2-beli ||.||2 norma szerinti folytonosság. (HF: fogalmazzuk meg a C C függvények folytonosságának epszilon-deltás definícióját!)
Lineáris (jobban mondva R-lineáris), RN RM függvény folytonos, így a műveltek folytonosak lesznek:
és
folytonosak (az egyik az ||.||C,||.||C, a másik a ||.||C×C,||.||C normapárok szerint).
Mi több, a komplex számok legjellegzetesebb algebrai-topológiai tulajdonsága, hogy a komplex számok
szorzása is mindkét változójában R-lineáris, így folytonos.
Szemléletessé tehetjük a két fenti példát, ha a két művelet geometriai jelentését tekintjük. A hozzáadás eltolás, a komplex számmal szorzás forgatva nyújtás, így a gömbi környzeteket olyan alakzatokba képezik, melyek geoetriai okokból mutatják a folytonosságot:
R-differenciálhatóság
Egy f : C C függvény abban az értelemen R-differenciálható, ahogy egy RN RM függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:
- akkor
A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a definíciójából számíthatjuk ki:
- akkor