Matematika A3a 2008/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonosság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Topológia '''C'''-ben) |
||
11. sor: | 11. sor: | ||
Világos, hogy akármilyen '''R'''<sup>2</sup>-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a '''C''' gömbjeinek, mert '''R'''<sup>2</sup>-ben ''minden norma ugyanazt a topológiát származtatja''. Mi a ||.||<sub>2</sub>-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki. | Világos, hogy akármilyen '''R'''<sup>2</sup>-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a '''C''' gömbjeinek, mert '''R'''<sup>2</sup>-ben ''minden norma ugyanazt a topológiát származtatja''. Mi a ||.||<sub>2</sub>-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki. | ||
+ | |||
===Folytonosság=== | ===Folytonosság=== | ||
Egy ''f'' : '''C''' <math>\to</math> '''C''' függvény folytonossága ezennel értelmezve van éspedig nem más, mint az '''R'''<sup>2</sup>-beli ||.||<sub>2</sub> norma szerinti folytonosság. (HF: fogalmazzuk meg a '''C''' <math>\to</math> '''C''' függvények folytonosságának epszilon-deltás definícióját!) | Egy ''f'' : '''C''' <math>\to</math> '''C''' függvény folytonossága ezennel értelmezve van éspedig nem más, mint az '''R'''<sup>2</sup>-beli ||.||<sub>2</sub> norma szerinti folytonosság. (HF: fogalmazzuk meg a '''C''' <math>\to</math> '''C''' függvények folytonosságának epszilon-deltás definícióját!) | ||
24. sor: | 25. sor: | ||
szorzása is mindkét változójában '''R'''-lineáris, így folytonos. | szorzása is mindkét változójában '''R'''-lineáris, így folytonos. | ||
− | Szemléletessé tehetjük a két fenti példát, ha a két művelet geometriai jelentését tekintjük. A hozzáadás eltolás, a komplex számmal szorzás forgatva nyújtás, így a gömbi környzeteket olyan alakzatokba képezik, melyek | + | Szemléletessé tehetjük a két fenti példát, ha a két művelet geometriai jelentését tekintjük. A hozzáadás eltolás, a komplex számmal szorzás forgatva nyújtás, így a gömbi környzeteket olyan alakzatokba képezik, melyek geometriai okokból mutatják a folytonosságot: |
:<math>w+B_r(z_0)=B_r(w+z_0)\,</math> | :<math>w+B_r(z_0)=B_r(w+z_0)\,</math> | ||
:<math>w\cdot B_r(z_0)\subseteq B_{r\cdot|w|}(wz_0)</math> | :<math>w\cdot B_r(z_0)\subseteq B_{r\cdot|w|}(wz_0)</math> | ||
+ | ==Komplex számkör unicitása és mátrixreprezentációja== | ||
+ | A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. '''C''' nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt '''C''' ''az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra'' -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus). | ||
+ | |||
+ | A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix} | ||
+ | a & -b | ||
+ | b & a | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás. | ||
+ | |||
+ | Ezek tényleg az '''R'''<sup>2</sup> forgatva nyújtásai, csak át kell térnünk trigonometrikus alakra: | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix} | ||
+ | a & -b | ||
+ | b & a | ||
+ | \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} | ||
+ | \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) | ||
+ | \sin(\varphi) & \cos(\varphi) | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
==='''R'''-differenciálhatóság=== | ==='''R'''-differenciálhatóság=== | ||
Egy ''f'' : '''C''' <math>\to</math> '''C''' függvény abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy egy '''R'''<sup>N</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup> függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény '''R'''-differenciálható, és '''R'''-differenciálja az identitás: | Egy ''f'' : '''C''' <math>\to</math> '''C''' függvény abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy egy '''R'''<sup>N</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup> függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény '''R'''-differenciálható, és '''R'''-differenciálja az identitás: |
A lap 2008. szeptember 6., 22:06-kori változata
Tartalomjegyzék |
Topológia C-ben
C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R2 síkon, a következő megfeleltetésekkel:
a vektortérműveletek pedig:
- vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)
- valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)
C-ben tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az R2 sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a C-beli nyílt halmazokat, azaz C topológiáját. A gömbök tehát a Gauss-számsík körlapjai:
ahol z ∈ C, r > 0 valós szám.
Világos, hogy akármilyen R2-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a C gömbjeinek, mert R2-ben minden norma ugyanazt a topológiát származtatja. Mi a ||.||2-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki.
Folytonosság
Egy f : C C függvény folytonossága ezennel értelmezve van éspedig nem más, mint az R2-beli ||.||2 norma szerinti folytonosság. (HF: fogalmazzuk meg a C C függvények folytonosságának epszilon-deltás definícióját!)
Lineáris (jobban mondva R-lineáris), RN RM függvény folytonos, így a műveltek folytonosak lesznek:
és
folytonosak (az egyik az ||.||C,||.||C, a másik a ||.||C×C,||.||C normapárok szerint).
Mi több, a komplex számok legjellegzetesebb algebrai-topológiai tulajdonsága, hogy a komplex számok
szorzása is mindkét változójában R-lineáris, így folytonos.
Szemléletessé tehetjük a két fenti példát, ha a két művelet geometriai jelentését tekintjük. A hozzáadás eltolás, a komplex számmal szorzás forgatva nyújtás, így a gömbi környzeteket olyan alakzatokba képezik, melyek geometriai okokból mutatják a folytonosságot:
Komplex számkör unicitása és mátrixreprezentációja
A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. C nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt C az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).
A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa
A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.
Ezek tényleg az R2 forgatva nyújtásai, csak át kell térnünk trigonometrikus alakra:
R-differenciálhatóság
Egy f : C C függvény abban az értelemen R-differenciálható, ahogy egy RN RM függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:
- akkor
A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a definíciójából számíthatjuk ki:
- akkor