Matematika A3a 2008/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Topológia '''C'''-ben) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex számkör unicitása és mátrixreprezentációja) |
||
33. sor: | 33. sor: | ||
A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa | A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa | ||
:<math>\begin{pmatrix} | :<math>\begin{pmatrix} | ||
− | a & -b | + | a & -b\\ |
b & a | b & a | ||
\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
40. sor: | 40. sor: | ||
Ezek tényleg az '''R'''<sup>2</sup> forgatva nyújtásai, csak át kell térnünk trigonometrikus alakra: | Ezek tényleg az '''R'''<sup>2</sup> forgatva nyújtásai, csak át kell térnünk trigonometrikus alakra: | ||
:<math>\begin{pmatrix} | :<math>\begin{pmatrix} | ||
− | a & -b | + | a & -b\\ |
b & a | b & a | ||
\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} | \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} | ||
− | \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) | + | \cos(\varphi) & -\sin(\varphi)\\ |
\sin(\varphi) & \cos(\varphi) | \sin(\varphi) & \cos(\varphi) | ||
\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
==='''R'''-differenciálhatóság=== | ==='''R'''-differenciálhatóság=== | ||
59. sor: | 56. sor: | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
+ | Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. ''z'' <math>\mapsto</math> ''w''<math>\cdot</math> ''z'' '''R'''-deriváltja maga ''w'' komplex számnak megfelelő mátrix, azaz | ||
+ | :<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=w | ||
+ | </math> | ||
+ | ha mátrixreprezentációt veszünk. |
A lap 2008. szeptember 6., 22:09-kori változata
Tartalomjegyzék |
Topológia C-ben
C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R2 síkon, a következő megfeleltetésekkel:
a vektortérműveletek pedig:
- vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)
- valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)
C-ben tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az R2 sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a C-beli nyílt halmazokat, azaz C topológiáját. A gömbök tehát a Gauss-számsík körlapjai:
ahol z ∈ C, r > 0 valós szám.
Világos, hogy akármilyen R2-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a C gömbjeinek, mert R2-ben minden norma ugyanazt a topológiát származtatja. Mi a ||.||2-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki.
Folytonosság
Egy f : C C függvény folytonossága ezennel értelmezve van éspedig nem más, mint az R2-beli ||.||2 norma szerinti folytonosság. (HF: fogalmazzuk meg a C C függvények folytonosságának epszilon-deltás definícióját!)
Lineáris (jobban mondva R-lineáris), RN RM függvény folytonos, így a műveltek folytonosak lesznek:
és
folytonosak (az egyik az ||.||C,||.||C, a másik a ||.||C×C,||.||C normapárok szerint).
Mi több, a komplex számok legjellegzetesebb algebrai-topológiai tulajdonsága, hogy a komplex számok
szorzása is mindkét változójában R-lineáris, így folytonos.
Szemléletessé tehetjük a két fenti példát, ha a két művelet geometriai jelentését tekintjük. A hozzáadás eltolás, a komplex számmal szorzás forgatva nyújtás, így a gömbi környzeteket olyan alakzatokba képezik, melyek geometriai okokból mutatják a folytonosságot:
Komplex számkör unicitása és mátrixreprezentációja
A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. C nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt C az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).
A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa
A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.
Ezek tényleg az R2 forgatva nyújtásai, csak át kell térnünk trigonometrikus alakra:
R-differenciálhatóság
Egy f : C C függvény abban az értelemen R-differenciálható, ahogy egy RN RM függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:
- akkor
A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a definíciójából számíthatjuk ki:
- akkor
Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. z w z R-deriváltja maga w komplex számnak megfelelő mátrix, azaz
ha mátrixreprezentációt veszünk.