Matematika A3a 2008/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→'''R'''-differenciálhatóság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | == | + | ==Komplex számkör unicitása és reprezentációi== |
'''C''', azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. '''C''' elemei reprezentálhatók az '''R'''<sup>2</sup> síkon, a következő megfeleltetésekkel: | '''C''', azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. '''C''' elemei reprezentálhatók az '''R'''<sup>2</sup> síkon, a következő megfeleltetésekkel: | ||
:<math>\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2</math> | :<math>\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2</math> | ||
6. sor: | 6. sor: | ||
:<math>\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2</math> valós számmal való szorzás (λ, ''a'', ''b'' ∈ '''R''') | :<math>\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2</math> valós számmal való szorzás (λ, ''a'', ''b'' ∈ '''R''') | ||
− | '''C'''-ben tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az '''R'''<sup>2</sup> sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a '''C'''-beli nyílt halmazokat, azaz '''C''' topológiáját. A gömbök tehát a ''Gauss-számsík'' körlapjai: | + | A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. '''C''' nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt '''C''' ''az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra'' -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus). |
+ | |||
+ | A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix} | ||
+ | a & -b\\ | ||
+ | b & a | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás. | ||
+ | |||
+ | Ezek tényleg az '''R'''<sup>2</sup> forgatva nyújtásai, csak át kell térnünk trigonometrikus alakra: | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix} | ||
+ | a & -b\\ | ||
+ | b & a | ||
+ | \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} | ||
+ | \cos(\varphi) & -\sin(\varphi)\\ | ||
+ | \sin(\varphi) & \cos(\varphi) | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | ==Topológia '''C'''-ben== | ||
+ | |||
+ | '''C'''-ben, mint az '''R'''<sup>2</sup> sík elemein tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az '''R'''<sup>2</sup> sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a '''C'''-beli nyílt halmazokat, azaz '''C''' topológiáját. A gömbök tehát a ''Gauss-számsík'' körlapjai: | ||
:<math>B_r(z)=\{w\in \mathbf{C}\mid |w-z|< r\}</math> | :<math>B_r(z)=\{w\in \mathbf{C}\mid |w-z|< r\}</math> | ||
ahol ''z'' ∈ '''C''', ''r'' > 0 valós szám. | ahol ''z'' ∈ '''C''', ''r'' > 0 valós szám. | ||
28. sor: | 48. sor: | ||
:<math>w+B_r(z_0)=B_r(w+z_0)\,</math> | :<math>w+B_r(z_0)=B_r(w+z_0)\,</math> | ||
:<math>w\cdot B_r(z_0)\subseteq B_{r\cdot|w|}(wz_0)</math> | :<math>w\cdot B_r(z_0)\subseteq B_{r\cdot|w|}(wz_0)</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | =='''R'''-differenciálhatóság== | |
Egy ''f'' : '''C''' <math>\to</math> '''C''' függvény abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy egy '''R'''<sup>N</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup> függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény '''R'''-differenciálható, és '''R'''-differenciálja az identitás: | Egy ''f'' : '''C''' <math>\to</math> '''C''' függvény abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy egy '''R'''<sup>N</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup> függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény '''R'''-differenciálható, és '''R'''-differenciálja az identitás: | ||
:<math>a_w:z\mapsto w+ z\,</math> akkor <math>\mathrm{d}_\mathbf{R}(a_w)z=z</math> | :<math>a_w:z\mapsto w+ z\,</math> akkor <math>\mathrm{d}_\mathbf{R}(a_w)z=z</math> |
A lap 2008. szeptember 8., 16:32-kori változata
Tartalomjegyzék |
Komplex számkör unicitása és reprezentációi
C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R2 síkon, a következő megfeleltetésekkel:
a vektortérműveletek pedig:
- vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)
- valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)
A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. C nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt C az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).
A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa
A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.
Ezek tényleg az R2 forgatva nyújtásai, csak át kell térnünk trigonometrikus alakra:
Topológia C-ben
C-ben, mint az R2 sík elemein tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az R2 sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a C-beli nyílt halmazokat, azaz C topológiáját. A gömbök tehát a Gauss-számsík körlapjai:
ahol z ∈ C, r > 0 valós szám.
Világos, hogy akármilyen R2-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a C gömbjeinek, mert R2-ben minden norma ugyanazt a topológiát származtatja. Mi a ||.||2-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki.
Folytonosság
Egy f : C C függvény folytonossága ezennel értelmezve van éspedig nem más, mint az R2-beli ||.||2 norma szerinti folytonosság. (HF: fogalmazzuk meg a C C függvények folytonosságának epszilon-deltás definícióját!)
Lineáris (jobban mondva R-lineáris), RN RM függvény folytonos, így a műveltek folytonosak lesznek:
és
folytonosak (az egyik az ||.||C,||.||C, a másik a ||.||C×C,||.||C normapárok szerint).
Mi több, a komplex számok legjellegzetesebb algebrai-topológiai tulajdonsága, hogy a komplex számok
szorzása is mindkét változójában R-lineáris, így folytonos.
Szemléletessé tehetjük a két fenti példát, ha a két művelet geometriai jelentését tekintjük. A hozzáadás eltolás, a komplex számmal szorzás forgatva nyújtás, így a gömbi környzeteket olyan alakzatokba képezik, melyek geometriai okokból mutatják a folytonosságot:
R-differenciálhatóság
Egy f : C C függvény abban az értelemen R-differenciálható, ahogy egy RN RM függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:
- akkor
A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a definíciójából számíthatjuk ki:
- akkor
Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. z w z R-deriváltja maga w komplex számnak megfelelő mátrix, azaz
ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz: