Matematika A3a 2008/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→'''R'''-differenciálhatóság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
86. sor: | 86. sor: | ||
\end{pmatrix}\notin\mathbf{C} </math> | \end{pmatrix}\notin\mathbf{C} </math> | ||
− | És ezzel már | + | És ezzel már ki is mondhatjuk a ''Cauchy-Riemann-féle szükséges feltételt'': |
− | :Annak a szükséges feltétele, hogy az ''f'' | + | :Annak a szükséges feltétele, hogy az ''f'':'''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> '''R'''-differenciálható függvény differenciálja egy komplex szám mátrixreprezentációja legyen, az, hogy: |
::<math>\partial_1 f_1=\partial_2 f_2</math> és <math>\partial_1 f_2=\partial_2 f_1</math> | ::<math>\partial_1 f_1=\partial_2 f_2</math> és <math>\partial_1 f_2=\partial_2 f_1</math> |
A lap 2008. szeptember 8., 22:25-kori változata
Tartalomjegyzék |
Komplex számkör unicitása és reprezentációi
C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R2 síkon, a következő megfeleltetésekkel:
a vektortérműveletek pedig:
- vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)
- valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)
A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. C nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt C az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).
A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa
A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.
Ezek tényleg az R2 forgatva nyújtásai, csak át kell térnünk trigonometrikus alakra:
Topológia C-ben
C-ben, mint az R2 sík elemein tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az R2 sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a C-beli nyílt halmazokat, azaz C topológiáját. A gömbök tehát a Gauss-számsík körlapjai:
ahol z ∈ C, r > 0 valós szám.
Világos, hogy akármilyen R2-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a C gömbjeinek, mert R2-ben minden norma ugyanazt a topológiát származtatja. Mi a ||.||2-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki.
Folytonosság
Egy f : C C függvény folytonossága ezennel értelmezve van éspedig nem más, mint az R2-beli ||.||2 norma szerinti folytonosság. (HF: fogalmazzuk meg a C C függvények folytonosságának epszilon-deltás definícióját!)
Lineáris (jobban mondva R-lineáris), RN RM függvény folytonos, így a műveltek folytonosak lesznek:
és
folytonosak (az egyik az ||.||C,||.||C, a másik a ||.||C×C,||.||C normapárok szerint).
Mi több, a komplex számok legjellegzetesebb algebrai-topológiai tulajdonsága, hogy a komplex számok
szorzása is mindkét változójában R-lineáris, így folytonos.
Szemléletessé tehetjük a két fenti példát, ha a két művelet geometriai jelentését tekintjük. A hozzáadás eltolás, a komplex számmal szorzás forgatva nyújtás, így a gömbi környzeteket olyan alakzatokba képezik, melyek geometriai okokból mutatják a folytonosságot:
R-differenciálhatóság
Egy f : C C függvény abban az értelemen R-differenciálható, ahogy egy RN RM függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:
- akkor
A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a definíciójából számíthatjuk ki:
- akkor
Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. z w z R-deriváltja maga w komplex számnak megfelelő mátrix, azaz
ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz:
Feladat. Számítsuk ki az f(z) = z2 R-differenciálját!
Legyen z = x + i y. Ekkor z2 = x2 - y2 +i(2xy)
Feladat. Számítsuk ki az R-differenciálját!
Ha z = x + i y, akkor , így:
És ezzel már ki is mondhatjuk a Cauchy-Riemann-féle szükséges feltételt:
- Annak a szükséges feltétele, hogy az f:R2 R2 R-differenciálható függvény differenciálja egy komplex szám mátrixreprezentációja legyen, az, hogy:
- és