Matematika A3a 2008/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→'''R'''-differenciálhatóság) |
||
89. sor: | 89. sor: | ||
:Annak a szükséges feltétele, hogy az ''f'':'''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> '''R'''-differenciálható függvény differenciálja egy komplex szám mátrixreprezentációja legyen, az, hogy: | :Annak a szükséges feltétele, hogy az ''f'':'''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> '''R'''-differenciálható függvény differenciálja egy komplex szám mátrixreprezentációja legyen, az, hogy: | ||
::<math>\partial_1 f_1=\partial_2 f_2</math> és <math>\partial_1 f_2=\partial_2 f_1</math> | ::<math>\partial_1 f_1=\partial_2 f_2</math> és <math>\partial_1 f_2=\partial_2 f_1</math> | ||
+ | =='''C'''-differenciálhatóság== | ||
+ | A fenti példa motiválja a '''C'''-differenciálhatóság fogalmát. Legyen a szituáció az előbbi, azaz legyen ''f''(''z'') totálisan differenciálható (mint kétváltozós függvény) a ''z''<sub>0</sub> pontban és a Jacobi-mátrixa ott legyen a ''w'' ∈ '''C''' szám mátrixreprezentációja. Ekkor | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math> | ||
+ | Itt ''w''<math>\cdot</math>(''z''-''z''<sub>0</sub>) egyfelől a mátrixszorzás, másfelől a komplex szorzás. Ekkor: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right)=0</math> | ||
+ | Ha ''h''(''z'')=(''z''-''z''<sub>0</sub>)/|''z''-''z''<sub>0</sub>|, ami a komplex "egységgömbön" "futó" függvény, akkor a komplex szorzás tulajdonságai miatt: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left(h(z)\cdot \left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right)=0</math> | ||
+ | Innen a kovetkező gondolatunk támadhat. Teljesen az egyváltozós valós derivált tulajdonságait mutató deriváltfogalmat kapunk, ha bevezetődne a következő | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Definíció''' - ''Komplex differenciálhatóság, komplex derivált'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''C'''-deriválható ''z''<sub>0</sub>-ban és deriváltja a ''w'' szám, ha | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math> | ||
+ | |||
+ | Most gondoljuk végig, hogy milyen kapcsolatban van az ''R'''- és a '''C'''-deriválhatóság. Ha a fenti gondolamenetet felefelé nézzük, akkor a ''h''(''z'') korlátossága miatt a "korlátos szor nullához" tartó függvényt kapunk, így a szorzat határértéke 0. Persze ehhez kellene a "korlátos szor nullához tartó" lemma komplex szorzásra. | ||
+ | |||
+ | Ha lefelé gondolkodunk, akkor indirekten kell eljárnunk. Tegyük fel, hogy a második tényező nem nulla határértékű. Amikor nem létezik, vagy nem az adott szám a határérték, akkor "cáfoló" sorozatot szoktunk megadni. Az átviteli elv miatt létezik olyan ''z''(''n'') konvergens komplex sorozat, mely nem a 0-hoz tart. De a ''h''(''z''(''n'')) ekkor az egysgkörön van, így |
A lap 2008. szeptember 8., 23:26-kori változata
Tartalomjegyzék |
Komplex számkör unicitása és reprezentációi
C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R2 síkon, a következő megfeleltetésekkel:
a vektortérműveletek pedig:
- vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)
- valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)
A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. C nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt C az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).
A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa
A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.
Ezek tényleg az R2 forgatva nyújtásai, csak át kell térnünk trigonometrikus alakra:
Topológia C-ben
C-ben, mint az R2 sík elemein tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az R2 sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a C-beli nyílt halmazokat, azaz C topológiáját. A gömbök tehát a Gauss-számsík körlapjai:
ahol z ∈ C, r > 0 valós szám.
Világos, hogy akármilyen R2-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a C gömbjeinek, mert R2-ben minden norma ugyanazt a topológiát származtatja. Mi a ||.||2-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki.
Folytonosság
Egy f : C C függvény folytonossága ezennel értelmezve van éspedig nem más, mint az R2-beli ||.||2 norma szerinti folytonosság. (HF: fogalmazzuk meg a C C függvények folytonosságának epszilon-deltás definícióját!)
Lineáris (jobban mondva R-lineáris), RN RM függvény folytonos, így a műveltek folytonosak lesznek:
és
folytonosak (az egyik az ||.||C,||.||C, a másik a ||.||C×C,||.||C normapárok szerint).
Mi több, a komplex számok legjellegzetesebb algebrai-topológiai tulajdonsága, hogy a komplex számok
szorzása is mindkét változójában R-lineáris, így folytonos.
Szemléletessé tehetjük a két fenti példát, ha a két művelet geometriai jelentését tekintjük. A hozzáadás eltolás, a komplex számmal szorzás forgatva nyújtás, így a gömbi környzeteket olyan alakzatokba képezik, melyek geometriai okokból mutatják a folytonosságot:
R-differenciálhatóság
Egy f : C C függvény abban az értelemen R-differenciálható, ahogy egy RN RM függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:
- akkor
A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a definíciójából számíthatjuk ki:
- akkor
Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. z w z R-deriváltja maga w komplex számnak megfelelő mátrix, azaz
ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz:
Feladat. Számítsuk ki az f(z) = z2 R-differenciálját!
Legyen z = x + i y. Ekkor z2 = x2 - y2 +i(2xy)
Feladat. Számítsuk ki az R-differenciálját!
Ha z = x + i y, akkor , így:
És ezzel már ki is mondhatjuk a Cauchy-Riemann-féle szükséges feltételt:
- Annak a szükséges feltétele, hogy az f:R2 R2 R-differenciálható függvény differenciálja egy komplex szám mátrixreprezentációja legyen, az, hogy:
- és
C-differenciálhatóság
A fenti példa motiválja a C-differenciálhatóság fogalmát. Legyen a szituáció az előbbi, azaz legyen f(z) totálisan differenciálható (mint kétváltozós függvény) a z0 pontban és a Jacobi-mátrixa ott legyen a w ∈ C szám mátrixreprezentációja. Ekkor
Itt w(z-z0) egyfelől a mátrixszorzás, másfelől a komplex szorzás. Ekkor:
Ha h(z)=(z-z0)/|z-z0|, ami a komplex "egységgömbön" "futó" függvény, akkor a komplex szorzás tulajdonságai miatt:
Innen a kovetkező gondolatunk támadhat. Teljesen az egyváltozós valós derivált tulajdonságait mutató deriváltfogalmat kapunk, ha bevezetődne a következő
Definíció - Komplex differenciálhatóság, komplex derivált - Legyen f a z0 egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f C-deriválható z0-ban és deriváltja a w szám, ha
Most gondoljuk végig, hogy milyen kapcsolatban van az R'- és a C-deriválhatóság. Ha a fenti gondolamenetet felefelé nézzük, akkor a h(z) korlátossága miatt a "korlátos szor nullához" tartó függvényt kapunk, így a szorzat határértéke 0. Persze ehhez kellene a "korlátos szor nullához tartó" lemma komplex szorzásra.
Ha lefelé gondolkodunk, akkor indirekten kell eljárnunk. Tegyük fel, hogy a második tényező nem nulla határértékű. Amikor nem létezik, vagy nem az adott szám a határérték, akkor "cáfoló" sorozatot szoktunk megadni. Az átviteli elv miatt létezik olyan z(n) konvergens komplex sorozat, mely nem a 0-hoz tart. De a h(z(n)) ekkor az egysgkörön van, így