Matematika A3a 2008/1. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2010. szeptember 15., 08:57-kori változata

_{<Matematika A3a 2008}

Tartalomjegyzék

1 Komplex számkör és reprezentációi
2 C topológiája
- 2.1 Folytonosság
3 Komplex számkör unicitása és reprezentációi
4 Topológia C-ben
- 4.1 Folytonosság

Komplex számkör és reprezentációi

A komplex számok C halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.

Algebrai modell

A komplex számok olyan

$a+b\mathrm{i}\,$

alakú formális kifejezések, ahol a és b valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy

$\mathrm{i}^2=-1\,$

A komplex számok halmazát a C szimbólummal jelöljük. Akárcsak a legfeljebb elsőfokú a + bx alakú polinomok esetén, a C-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az a + bx alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i²=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az a + bi alakú kifejezések körébe. Ezért lesz C zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.

Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:

Állítás. A C számkör a komplex számok

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i összeadásával és a

λ(a+bi) = λa + λbi, a λ valós számmal való szorzással

kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok R² vektorterével.

Halmazelméleti modell

Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az a + bi alakú formális kifejezéseken az R[X] polinomgyűrűnek az (1+X²) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).

A számpár reprezentációban:

$\mathbf{C}=\mathbf{R}^{2}\,$

az összeadás az R²-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a

$(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-db)+(ad+bc)\mathrm{i}\,$

művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.

Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a C örökli az R² topológiáját.

Geometriai modell

A szorzással együtt C egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2×2-es valós mátrixon M_2×2 (R) algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az R² síkon:

$\mathbf{C}\ni z=r\cdot(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)\;\cong\; \begin{pmatrix} r\cos\varphi & -r\sin\varphi\\ r\sin\varphi & r\cos\varphi \end{pmatrix}\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R})$

Világos, hogy ekkor az a + bi kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:

$\left\{\begin{pmatrix} a & -b\\ b & \;\;a \end{pmatrix}\in\mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R}): a,b\in \mathbf{R}\right\}$

Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az M_2×2 (R) algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.

C topológiája

R² gömbi környezetei lesznek C gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom C-ben R²-re vezetünk vissza. Tehát, adott r > 0 valós számra és z₀ ∈ C számra:

$\mathrm{B}_r(z_0)\;\overset{\mathrm{def}}{=}\;\{z\in \mathbf{C}\mid |z-z_0|<r\}$

az r sugarú z₀ középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||₂ euklideszi norma, elvileg R² bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. Ω ⊆ C nyílt, ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:

$\forall z\in \Omega\quad \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq \Omega$

Egy A ⊆ C halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van A-ban

$\mathrm{int}(A)=\{z\in \mathbf{C}\mid \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq A\}$

Folytonosság

Azt mondjuk, hogy az A ⊆ C halmazon értelmezett f függvény folytonos a z ∈ A pontban, ha z-ben f folytonos mint R² ⊇ A $\to$ R² függvény. Maga az f folytonos, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:

Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha f-et a következő alakban írjuk:

$f(z)\equiv f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}\cdot v(x,y)$

ahol u és v valós értékű függvények (rendre Re(f) és Im(f)), továbbá z₀ = x₀ + iy₀ ∈ Dom(f), akkor a következők ekvivalensek:

f folytonos a z₀-ban
u és v függvények folytonosak az (x₀,y₀)-ban

A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a $z = x + i y$ pontban a lim_x u + i lim_y v szám adja. Ekkor

Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvény létezik határértéke és az a helyettesítési érték.

$\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(z_0)$

Feladat. Legyen w ∈ C. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!

$z\mapsto w + z\,$
$z\mapsto w\cdot z\,$
$z\mapsto \overline{z}\,$
$z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)$

Megoldás.

Az 1. az R²-ben eltolás a w-nek megfelelő vektorral (Re(w), Im(w))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.

2. a w mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.

3. azaz a konjugálás: (x,y) $\mapsto$ (x,–y) a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.

Végül a reciprok:

$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$

így, mint R² ⊃ $\to$ R² függvény:

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} \cfrac{x}{x^2+y^2} \\ \cfrac{-y}{x^2+y^2} \end{pmatrix}$

amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

Feladat. Folytonos-e a z = 0-ban az

$f(z)=\left\{ \begin{matrix} \cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\ \\ 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0 \end{matrix} \right.$

Megoldás.

Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:

$f(x,y)=\begin{pmatrix} \cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\ \cfrac{x^4}{x^2+y^2} \end{pmatrix}$

A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:

$\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|$

és

$\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2$

így (x,y) $\to$ (0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.

Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő R²-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.

Állítás. Ha f és g komplex függvények és az z₀ pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor

f + g
f $\cdot$ g
$\overline{f}$
g(z₀) ≠ 0 esetén f/g

is folytonos z₀-ban.

Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).

Komplex számkör unicitása és reprezentációi

C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R² síkon, a következő megfeleltetésekkel:

$\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2$

a vektortérműveletek pedig:

$\mathbf{C}\ni (a+bi)+(c+di)\equiv (a,b)+(c,d)\in \mathbf{R}^2$ vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)

$\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2$ valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)

A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. C nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt C az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).

A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa

$\begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}$

A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.

Ezek tényleg az R² forgatva nyújtásai, csak át kell térnünk trigonometrikus alakra:

$\begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} \cos(\varphi) & -\sin(\varphi)\\ \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{pmatrix}$

Topológia C-ben

C-ben, mint az R² sík elemein tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az R² sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a C-beli nyílt halmazokat, azaz C topológiáját. A gömbök tehát a Gauss-számsík körlapjai:

$B_r(z)=\{w\in \mathbf{C}\mid |w-z|< r\}$

ahol z ∈ C, r > 0 valós szám.

Világos, hogy akármilyen R²-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a C gömbjeinek, mert R²-ben minden norma ugyanazt a topológiát származtatja. Mi a ||.||₂-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki.

Folytonosság

Egy f : C $\to$ C függvény folytonossága ezennel értelmezve van éspedig nem más, mint az R²-beli ||.||₂ norma szerinti folytonosság. (HF: fogalmazzuk meg a C $\to$ C függvények folytonosságának epszilon-deltás definícióját!)

Lineáris (jobban mondva R-lineáris), R^N $\to$ R^M függvény folytonos, így a műveltek folytonosak lesznek:

$(a,b)+.\;:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}a + x\\b + y\end{pmatrix}$

és

$+\;:\mathbf{R}^2\times\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2,\quad((a,b),(c,d))\mapsto\begin{pmatrix}a + c\\b + d\end{pmatrix}$

folytonosak (az egyik az ||.||_C,||.||_C, a másik a ||.||_C×C,||.||_C normapárok szerint).

Mi több, a komplex számok legjellegzetesebb algebrai-topológiai tulajdonsága, hogy a komplex számok

$(a+b\mathrm{i})\cdot (c+d\mathrm{i})=_{\mathrm{def}}(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}$

szorzása is mindkét változójában R-lineáris, így folytonos.

Szemléletessé tehetjük a két fenti példát, ha a két művelet geometriai jelentését tekintjük. A hozzáadás eltolás, a komplex számmal szorzás forgatva nyújtás, így a gömbi környzeteket olyan alakzatokba képezik, melyek geometriai okokból mutatják a folytonosságot:

$w+B_r(z_0)=B_r(w+z_0)\,$

$w\cdot B_r(z_0)\subseteq B_{r\cdot|w|}(wz_0)$

Matematika A3a 2008/1. gyakorlat

A lap 2010. szeptember 15., 08:57-kori változata

Tartalomjegyzék

Komplex számkör és reprezentációi

Algebrai modell

Halmazelméleti modell

Geometriai modell

C topológiája

Folytonosság

Komplex számkör unicitása és reprezentációi

Topológia C-ben

Folytonosság

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
+==Komplex számkör és reprezentációi==
+A komplex számok '''C''' halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.
+===Algebrai modell===
+A komplex számok olyan
+:<math>a+b\mathrm{i}\,</math>
+alakú formális kifejezések, ahol ''a'' és ''b'' valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy
+:<math>\mathrm{i}^2=-1\,</math>
+A komplex számok halmazát a '''C''' szimbólummal jelöljük. Akárcsak a legfeljebb elsőfokú ''a'' + ''bx'' alakú polinomok esetén, a '''C'''-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az ''a'' + ''bx'' alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i<sup>2</sup>=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az ''a'' + ''b''i alakú kifejezések körébe. Ezért lesz '''C''' zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.
+Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:
+{|align="center" cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #daf2fe;"
+|-
+|'''Állítás.''' A '''C''' számkör a komplex számok
+:(''a''+''b''i) + (''c''+''d''i) = (''a''+''c'') + (''b''+''d'')i összeadásával és a
+:&lambda;(''a''+''b''i) = &lambda;''a'' + &lambda;''b''i, a &lambda; valós számmal való szorzással
+kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok '''R'''<sup>2</sup> vektorterével.
+|-
+|}
+===Halmazelméleti modell===
+Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az ''a'' + ''b''i alakú formális kifejezéseken az '''R'''[X] polinomgyűrűnek az (1+X<sup>2</sup>) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).
+A számpár reprezentációban:
+:<math>\mathbf{C}=\mathbf{R}^{2}\,</math>
+az összeadás az '''R'''<sup>2</sup>-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a
+:<math>(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-db)+(ad+bc)\mathrm{i}\,</math>
+művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.
+Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a '''C''' örökli az '''R'''<sup>2</sup> topológiáját.
+===Geometriai modell===
+A szorzással együtt '''C''' egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2&times;2-es valós mátrixon M<sub>2&times;2</sub> ('''R''') algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az '''R'''<sup>2</sup> síkon:
+:<math>\mathbf{C}\ni z=r\cdot(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)\;\cong\;
+\begin{pmatrix}
+r\cos\varphi  & -r\sin\varphi\\
+r\sin\varphi  & r\cos\varphi
+\end{pmatrix}\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R})</math>
+Világos, hogy ekkor az ''a'' + ''b''i kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:
+:<math>\left\{\begin{pmatrix}
+a  & -b\\
+b  & \;\;a
+\end{pmatrix}\in\mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R}): a,b\in \mathbf{R}\right\}</math>
+Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az  M<sub>2&times;2</sub> ('''R''') algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.
+=='''C''' topológiája==
+'''R'''<sup>2</sup> gömbi környezetei lesznek '''C''' gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom '''C'''-ben '''R'''<sup>2</sup>-re vezetünk vissza. Tehát, adott ''r'' > 0 valós számra és ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C''' számra:
+:<math>\mathrm{B}_r(z_0)\;\overset{\mathrm{def}}{=}\;\{z\in \mathbf{C}\mid |z-z_0|<r\}</math>
+az ''r'' sugarú ''z''<sub>0</sub> középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||<sub>2</sub> euklideszi norma, elvileg '''R'''<sup>2</sup> bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. &Omega; &sube; '''C''' '''nyílt''', ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:
+:<math>\forall z\in \Omega\quad \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq \Omega</math>
+Egy ''A'' &sube; '''C''' halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van ''A''-ban
+:<math>\mathrm{int}(A)=\{z\in \mathbf{C}\mid  \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq A\}</math>
+===Folytonosság===
+Azt mondjuk, hogy az ''A'' &sube; '''C''' halmazon értelmezett ''f'' függvény folytonos a ''z'' &isin; '''A''' pontban, ha ''z''-ben ''f'' folytonos mint '''R'''<sup>2</sup> &supe; ''A'' <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény. Maga az ''f'' ''folytonos'', ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
+A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:
+'''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha ''f''-et a következő alakban írjuk:
+:<math>f(z)\equiv f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}\cdot v(x,y)</math>
+ahol ''u'' és ''v'' valós értékű függvények (rendre Re(''f'') és Im(''f'')), továbbá ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> &isin; Dom(''f''), akkor a következők ekvivalensek:
+# ''f'' folytonos a ''z''<sub>0</sub>-ban
+# ''u'' és ''v'' függvények folytonosak az (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>)-ban
+A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a <math>z=x+iy</math> pontban a lim<sub>x</sub> u + i lim<sub>y</sub> v szám adja. Ekkor
+'''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvény létezik határértéke és az a helyettesítési érték.
+: <math>\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(z_0)</math>
+'''Feladat.''' Legyen ''w'' &isin; '''C'''. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!
+# <math>z\mapsto w + z\,</math>
+# <math>z\mapsto w\cdot z\,</math>
+# <math>z\mapsto \overline{z}\,</math>
+# <math>z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)</math>
+''Megoldás.''
+Az 1. az '''R'''<sup>2</sup>-ben eltolás a ''w''-nek megfelelő vektorral (Re(''w''), Im(''w''))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.
+. a ''w'' mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.
+. azaz a konjugálás: (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> (''x'',–''y'') a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.
+Végül a reciprok:
+:<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
+így, mint '''R'''<sup>2</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény:
+:<math>\begin{pmatrix}
+x \\
+y
+\end{pmatrix}\mapsto
+\begin{pmatrix}
+\cfrac{x}{x^2+y^2} \\
+\cfrac{-y}{x^2+y^2}
+\end{pmatrix}</math>
+amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
+'''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az
+:<math>f(z)=\left\{
+\begin{matrix}
+\cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\
+\\
+,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0
+\end{matrix}
+\right.</math>
+''Megoldás.''
+Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') &ne; (0,0), akkor:
+:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
+\cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\
+\cfrac{x^4}{x^2+y^2}
+\end{pmatrix}</math>
+A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
+:<math>\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|</math>
+és
+:<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math>
+így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos.
+Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő '''R'''<sup>2</sup>-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.
+'''Állítás.''' Ha ''f'' és ''g'' komplex függvények és az ''z''<sub>0</sub>  pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor
+# ''f'' + ''g''
+# ''f'' <math>\cdot</math> ''g''
+# <math>\overline{f}</math>
+# ''g''(''z''<sub>0</sub>) &ne; 0 esetén ''f''/''g''
+is folytonos ''z''<sub>0</sub>-ban.
+Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).
 ==Komplex számkör unicitása és reprezentációi==
 '''C''', azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. '''C''' elemei  reprezentálhatók az '''R'''<sup>2</sup> síkon, a következő megfeleltetésekkel:
@@ 49. sor: / 188. sor: @@
 :<math>w+B_r(z_0)=B_r(w+z_0)\,</math>
 :<math>w\cdot B_r(z_0)\subseteq B_{r\cdot|w|}(wz_0)</math>
-=='''R'''-differenciálhatóság==
-Egy ''f'' :  '''C''' <math>\to</math> '''C''' függvény abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy egy '''R'''<sup>N</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup> függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény  '''R'''-differenciálható, és '''R'''-differenciálja az identitás:
-:<math>a_w:z\mapsto w+ z\,</math> akkor <math>\mathrm{d}_\mathbf{R}(a_w)z=z</math>
-A komplex számmal szorzás '''R'''-differenciálját közvetlenül a definíciójából számíthatjuk ki:
-:<math>m_w:z\mapsto w\cdot z\,</math> akkor <math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix}
-w_1 & -w_2\\
-w_2 & w_1
-\end{pmatrix}
-</math>
-Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. ''z'' <math>\mapsto</math> ''w''<math>\cdot</math> ''z'' '''R'''-deriváltja maga ''w'' komplex számnak megfelelő mátrix, azaz
-:<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=w
-</math>
-ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz:
-:<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix}
-& 0\\
-& 1
-\end{pmatrix}</math>
-'''Feladat. ''' Számítsuk ki az ''f''(''z'') = ''z''<sup>2</sup> '''R'''-differenciálját!
-Legyen ''z'' = ''x'' + i ''y''. Ekkor ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup> +i(2''xy'')
-:<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix}
-x & -2y\\
-y & 2x
-\end{pmatrix}=2z</math>
-'''Feladat. ''' Számítsuk ki az  <math>\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}</math> '''R'''-differenciálját!
-Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így:
-:<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^\overline{z}=\begin{pmatrix}
-& 0\\
-& -1
-\end{pmatrix}\notin\mathbf{C} </math>
-És ezzel már ki is mondhatjuk a ''Cauchy-Riemann-féle szükséges feltételt'':
-:Annak a szükséges feltétele, hogy az ''f'':'''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup>  '''R'''-differenciálható függvény differenciálja egy komplex szám mátrixreprezentációja legyen, az, hogy:
-::<math>\partial_1 f_1=\partial_2 f_2</math> és <math>\partial_1 f_2=-\partial_2 f_1</math>
-=='''C'''-differenciálhatóság==
-A fenti példa motiválja a '''C'''-differenciálhatóság fogalmát. Legyen a szituáció az előbbi, azaz legyen ''f''(''z'') totálisan differenciálható (mint kétváltozós függvény) a ''z''<sub>0</sub> pontban és a Jacobi-mátrixa ott legyen a ''w'' &isin; '''C''' szám mátrixreprezentációja. Ekkor
-:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math>
-Itt ''w''<math>\cdot</math>(''z''-''z''<sub>0</sub>) egyfelől a mátrixszorzás, másfelől a komplex szorzás. Ekkor:
-:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right)=0</math>
-Ha ''h''(''z'')=(''z''-''z''<sub>0</sub>)/|''z''-''z''<sub>0</sub>|, ami a komplex "egységgömbön" "futó" függvény, akkor a komplex szorzás tulajdonságai miatt:
-:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left(h(z)\cdot \left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right)=0</math>
-Innen a kovetkező gondolatunk támadhat. Teljesen az egyváltozós valós derivált tulajdonságait mutató deriváltfogalmat kapunk, ha bevezetődne a következő
-'''Definíció''' - ''Komplex differenciálhatóság, komplex derivált'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''C'''-deriválható ''z''<sub>0</sub>-ban és deriváltja a ''w'' szám, ha
-:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
-Most gondoljuk végig, hogy milyen kapcsolatban van az ''R'''- és a '''C'''-deriválhatóság. Ha a fenti gondolamenetet felefelé nézzük, akkor a ''h''(''z'') korlátossága miatt a "korlátos szor nullához" tartó függvényt kapunk, így a szorzat határértéke 0. Persze ehhez kellene a "korlátos szor nullához tartó" lemma komplex szorzásra.
-Ha lefelé gondolkodunk, akkor indirekten kell eljárnunk. Tegyük fel, hogy a második tényező nem nulla határértékű. Amikor nem létezik, vagy nem az adott szám a határérték, akkor "cáfoló" sorozatot szoktunk megadni. Az átviteli elv miatt létezik olyan ''z''(''n'') konvergens komplex sorozat, mely nem a 0-hoz tart. De a ''h''(''z''(''n'')) ekkor az egységkörön van, így a szorzat biztosan "elerüli a nullát" (az abszolút értéke nem a 0-hoz tart). Következésképpen:
-'''Tétel.''' A definícióbeli ''f'' pontosan akkor komplex diffható, ha diffható és a deriváltja komplex szám (mátrix reprezentációja). Továbbá ''f'' pontosan akkor komplex diffható, ha diffható és a parciális deriváltjai teljesítik a Cauchy-Riemann-egyenleteket.
-'''Feladat.''' Komplex deriváljuk az ''f''(''z'') = ''z''<sup>n</sup> függvényt!
-'''Feladat.''' Komplex deriválható-e: <math>\scriptstyle{f(z)=z\cdot\overline{z}}</math>, vagy a <math>\scriptstyle{f(z)=z^2\cdot\overline{z}}</math>?
-'''Feladat.''' Igazoljuk, hogy ha ''f'' korlátos komplex függvény a ''D'' &sube; '''C''' halmazon és lim<sub>w</sub>''g'' = 0, akkor lim<sub>w</sub> ''fg'' = 0. (w &isin; int D).
 [[Kategória:Matematika A3]]