Matematika A3a 2008/2. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→Feladatok)
1. sor: 1. sor:
 
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''  
 
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''  
−
==Feladatok==
+
==Feladatok folytnosságra==
  
 
'''1.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az  
 
'''1.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az  
24. sor: 24. sor:
 
:<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math>
 
:<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math>
 
így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos.
 
így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos.
 +
 +
 +
'''2.''' Folytonos-e a ''z'' = i-ben az
 +
:<math>f(z)=\left\{
 +
\begin{matrix}
 +
\cfrac{\mathbr{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\
 +
\\
 +
0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i}
 +
\end{matrix}
 +
\right.</math>
 +
 +
Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') &ne; (0,1), akkor:
 +
:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
 +
\cfrac{-y+1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \\
 +
\cfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 +
Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.
 +
 +
A második tényező szintén nem.
 +
 +
==Feladatok határértékre==
 +
===Végtelen határérték===
 +
'''Definíció''' – ''Végtelen és alapműveletek'' – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a &infin;, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban ''z'' tetszőleges komplex szám, ''n'' tetszőleges nemnulla komplex szám:
 +
# <math>\infty+\infty=\infty, \quad\quad\infty+z=\infty </math>,
 +
# <math>\infty-z=\infty,  \quad\quad z-\infty=\infty</math>, 
 +
# <math>\infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty</math>,
 +
# <math>\frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty</math>,
 +
továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.
 +
 +
Megjegyezzük még, hogy <math>\overline{\infty}=\infty</math>, azaz a végtelen konjugáltja saját maga.
 +
 +
'''Definíció''' – ''Határozatlan esetek'' –  Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
 +
# <math>\infty-\infty</math>,
 +
# <math>0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0</math>,
 +
# <math>\frac{\infty}{\infty}</math>,
 +
# <math>\frac{0}{0}</math>
 +
 +
'''Állítás''' – ''Végtelen határérték és alapműveletek'' – Ha az ''f'' és ''g'' komplex függvényeknek létezik határértékük az <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}</math> helyen, az ''f'' * ''g'' alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja ''u''  és a lim<sub>u</sub> ''f'' * lim<sub>u</sub> ''g'' alapművelet elvégezhető, akkor az ''f'' * ''g'' függvénynek is van határértéke ''u''-ban és ez:
 +
:<math> \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,</math>
 +
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
 +
 +
 +
  
 
[[Kategória:Matematika A3]]
 
[[Kategória:Matematika A3]]

A lap 2008. szeptember 18., 11:52-kori változata

<Matematika A3a 2008

Feladatok folytnosságra

1. Folytonos-e a z = 0-ban az

f(z)=\left\{ \begin{matrix} \cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\ \\ 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0 \end{matrix} \right.

Megoldás.

Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:

f(x,y)=\begin{pmatrix} \cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\ \cfrac{x^4}{x^2+y^2} \end{pmatrix}

A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:

\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|

és

\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2

így (x,y)\to(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.


2. Folytonos-e a z = i-ben az

Értelmezés sikertelen (ismeretlen függvény\mathbr): f(z)=\left\{ \begin{matrix} \cfrac{\mathbr{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\ \\ 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i} \end{matrix} \right.


Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,1), akkor:

f(x,y)=\begin{pmatrix} \cfrac{-y+1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \\ \cfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \end{pmatrix}

Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.

A második tényező szintén nem.

Feladatok határértékre

Végtelen határérték

Definíció – Végtelen és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban z tetszőleges komplex szám, n tetszőleges nemnulla komplex szám:

  1. \infty+\infty=\infty, \quad\quad\infty+z=\infty ,
  2. \infty-z=\infty, \quad\quad z-\infty=\infty,
  3. \infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty,
  4. \frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty,

továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.

Megjegyezzük még, hogy \overline{\infty}=\infty, azaz a végtelen konjugáltja saját maga.

Definíció – Határozatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:

  1. \infty-\infty,
  2. 0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0,
  3. \frac{\infty}{\infty},
  4. \frac{0}{0}

Állítás – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g komplex függvényeknek létezik határértékük az \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}} helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:

\lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,

Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A3a_2008/2._gyakorlat&oldid=4056”
Személyes eszközök