Matematika A3a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Feladatok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Feladatok folytnosságra) |
||
29. sor: | 29. sor: | ||
:<math>f(z)=\left\{ | :<math>f(z)=\left\{ | ||
\begin{matrix} | \begin{matrix} | ||
− | \cfrac{\ | + | \cfrac{\mathrm{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\ |
\\ | \\ | ||
0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i} | 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i} |
A lap 2008. szeptember 18., 11:52-kori változata
Feladatok folytnosságra
1. Folytonos-e a z = 0-ban az
Megoldás.
Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:
A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
és
így (x,y)(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.
2. Folytonos-e a z = i-ben az
Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,1), akkor:
Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.
A második tényező szintén nem.
Feladatok határértékre
Végtelen határérték
Definíció – Végtelen és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban z tetszőleges komplex szám, n tetszőleges nemnulla komplex szám:
- ,
- ,
- ,
- ,
továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.
Megjegyezzük még, hogy , azaz a végtelen konjugáltja saját maga.
Definíció – Határozatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
- ,
- ,
- ,
Állítás – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g komplex függvényeknek létezik határértékük az helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).