Matematika A3a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Feladatok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
2. sor: | 2. sor: | ||
==Feladatok folytnosságra== | ==Feladatok folytnosságra== | ||
− | '''1.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az | + | '''1. Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az |
:<math>f(z)=\left\{ | :<math>f(z)=\left\{ | ||
\begin{matrix} | \begin{matrix} | ||
26. sor: | 26. sor: | ||
− | '''2.''' Folytonos-e a ''z'' = i-ben az | + | '''2. Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = i-ben az |
:<math>f(z)=\left\{ | :<math>f(z)=\left\{ | ||
\begin{matrix} | \begin{matrix} | ||
66. sor: | 66. sor: | ||
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak). | Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak). | ||
===Feladatok=== | ===Feladatok=== | ||
− | '''3.''' Igazoljuk definíció szerint, hogy | + | '''3. Feladat.''' Igazoljuk definíció szerint, hogy |
:<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty</math> | :<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty</math> | ||
:<math>\lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0</math> | :<math>\lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0</math> | ||
72. sor: | 72. sor: | ||
''Megoldás.'' |1/''z''| < ε, ha |''z''| < δ és fordítva. | ''Megoldás.'' |1/''z''| < ε, ha |''z''| < δ és fordítva. | ||
− | '''4.''' Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek! | + | '''4. Feladat.''' Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek! |
# <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}</math>, | # <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}</math>, | ||
# <math>\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}</math>, | # <math>\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}</math>, | ||
96. sor: | 96. sor: | ||
5. <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty</math>. | 5. <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty</math>. | ||
− | '''5.''' Adjuk meg minden ''z''<sub>0</sub> ∈ '''C''' számra az alábbi függvény határértékét! | + | '''5. Feladat.''' Adjuk meg minden ''z''<sub>0</sub> ∈ '''C''' számra az alábbi függvény határértékét! |
# <math>f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z}</math>, | # <math>f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z}</math>, | ||
# <math>f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}</math> | # <math>f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}</math> |
A lap 2008. szeptember 18., 13:20-kori változata
Tartalomjegyzék |
Feladatok folytnosságra
1. Feladat. Folytonos-e a z = 0-ban az
Megoldás.
Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:
A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
és
így (x,y)(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.
2. Feladat. Folytonos-e a z = i-ben az
Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,1), akkor:
Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.
A második tényező szintén nem.
Feladatok függvényhatárértékre
Végtelen határérték
Definíció – Végtelen és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban z tetszőleges komplex szám, n tetszőleges nemnulla komplex szám:
- ,
- ,
- ,
- ,
továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.
Megjegyezzük még, hogy , azaz a végtelen konjugáltja saját maga.
Definíció – Határozatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
- ,
- ,
- ,
Állítás – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g komplex függvényeknek létezik határértékük az helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
Feladatok
3. Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy
Megoldás. |1/z| < ε, ha |z| < δ és fordítva.
4. Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
Megoldás.
1. nemnulla z-re:
de ekkor például az első komponensfüggvény x = 0 felől közelítve 0, míg az x = y-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.
2.
3.
4. csak a valós részt nézve:
az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs.
5. .
5. Feladat. Adjuk meg minden z0 ∈ C számra az alábbi függvény határértékét!
- ,
Megoldás.
1.
Folytonos az értelmezési tartományában. A határon: z0 ≠ 0 esetén
z0 = 0 esetén: