Matematika A3a 2008/7. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap jelenlegi, 2016. március 21., 10:39-kori változata

_{<Matematika A3a 2008}

Tartalomjegyzék

1 Folytonosság
2 Határérték
3 Feladat folytonosságra
4 Feladatok határértékre
5 C-differenciálhatóság
- 5.1 Harmonikus társ keresése

Folytonosság

Azt mondjuk, hogy az A ⊆ C halmazon értelmezett f függvény folytonos a z ∈ A pontban, ha z-ben f folytonos mint R² ⊇ A $\to$ R² függvény. Maga az f folytonos, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:

Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha f-et a következő alakban írjuk:

$f(z)\equiv f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}\cdot v(x,y)$

ahol u és v valós értékű függvények (rendre Re(f) és Im(f)), továbbá z₀ = x₀ + iy₀ ∈ Dom(f), akkor a következők ekvivalensek:

f folytonos a z₀-ban
u és v függvények folytonosak az (x₀,y₀)-ban

Határérték

Komplex függvény C-beli pontban vett C-beli határértéke ugyanúgy értelmezett, mint az R² esetben. Itt is érvényes, hogy pontosan akkor látezik a határérték, ha a komponensfüggvényeknek létezik a határértéke és ekkor a határérték egyenlő lesz a valós és képzetes komponens határértékéből alkotott komplex számmal.

A ∞ miatt érdemes külön is megfogalmazni a határérték definícióját, bár az teljesen analóg a valós esettel. Legyen f egy az A ⊆ C halmazon értelmezett, C-be képező függvény. Legyen $\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}$ az A torlódási pontja, azaz minden r > 0 esetén legyen olyan a ∈ A, hogy a ∈ B_r(u)\{u}. Azt mondjuk, hogy az f-nek a $\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{C}}}$ elem határértéke az u-ban, ha

minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden z ∈ A ∩ B_δ(u)\{u}-re f(z) ∈ B_ε(v)

ahol természetesen a ∞ környezetei a már említett módon értendők.

A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a $z = x + i y$ pontban a lim_x u + i lim_y v szám adja. Ekkor

Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvénynek létezik határértéke és az a helyettesítési érték.

$\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(z_0)$

A komplex függvények folytonosságának egyik, de nem egyetlen feltétele az, hogy az (u,v) reprezentáció R²-ben lineáris legyen, hiszen a véges dimenziós normált terek között ható lineáris leképezések folytonosak. A nem-folytonosságnál érdemes a határérték nem létezését vizsgálni, hátha ez célra vezet.

Feladat folytonosságra

Feladat. Legyen w ∈ C. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!

$z\mapsto w + z\,$
$z\mapsto w\cdot z\,$
$z\mapsto \overline{z}\,$
$z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)$

Megoldás.

Az 1. az R²-ben eltolás a w-nek megfelelő vektorral (Re(w), Im(w))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.

2. a w mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.

3. azaz a konjugálás: (x,y) $\mapsto$ (x,–y) a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.

Végül a reciprok:

$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$

így, mint R² ⊃ $\to$ R² függvény:

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} \cfrac{x}{x^2+y^2} \\ \cfrac{-y}{x^2+y^2} \end{pmatrix}$

amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

Feladat. Folytonos-e a z = 0-ban az

$f(z)=\left\{ \begin{matrix} \cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\ \\ 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0 \end{matrix} \right.$

Megoldás.

Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:

$f(x,y)=\begin{pmatrix} \cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\ \cfrac{x^4}{x^2+y^2} \end{pmatrix}$

A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:

$\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|$

és

$\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2$

így (x,y) $\to$ (0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.

Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő R²-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.

Állítás. Ha f és g komplex függvények és az z₀ pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor

f + g
f $\cdot$ g
$\overline{f}$
g(z₀) ≠ 0 esetén f/g

is folytonos z₀-ban.

Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).

Feladat. Folytonos-e a z = i-ben az

$f(z)=\left\{ \begin{matrix} \cfrac{\mathrm{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\ \\ 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i} \end{matrix} \right.$

Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,1), akkor:

$f(x,y)=\begin{pmatrix} \cfrac{-y+1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \\ \cfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \end{pmatrix}$

Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.

A második tényező szintén nem.

Feladatok határértékre

Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy

$\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty$
$\lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0$

1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a ∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:

$\left|\frac{1}{z}\right|>\frac{1}{\varepsilon}$

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

$|z|<\varepsilon$

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz:

$\left|\frac{1}{z}\right|<\varepsilon$

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

$|z|>\frac{1}{\varepsilon}$

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| > 1/δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:

Ha a és b valamelyike a ∞ szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az a * b alapműveletet akkor értelmezzük a c szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az ∞), ha minden a határértékű f függvény esetén és minden b határértékű g függvény esetén a f*g szükségszerűen a c-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az

a * b = c

definíció jó.

Például a ∞ + ∞ művelet feltétlenül értelmezett és értéke a ∞, mert könnyen látható, hogy bármely két, a ∞-hez tartó függvény összege is a ∞-hez tart. De a 0 $\cdot$ ∞ művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) $\cdot$ Re(z) $\to$ 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) $\cdot$ 2 Re(z) $\to$ 2 a z=0-ban.

Definíció – Végtelen és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban z tetszőleges komplex szám, n tetszőleges nemnulla komplex szám:

$\infty+z=\infty$ ,
$\infty-z=\infty, \quad\quad z-\infty=\infty$ ,
$\infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty$ ,
$\frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty$ ,

továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.

Megjegyezzük még, hogy $\overline{\infty}=\infty$ , azaz a végtelen konjugáltja saját maga.

Definíció – Határozatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:

$\infty-\infty$ ,
$0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0$ ,
$\frac{\infty}{\infty}$ ,
$\frac{0}{0}$

Tétel – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g komplex függvényeknek létezik határértékük az $\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}$ helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a lim_u f * lim_u g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:

$\lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,$

Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

A bizonyításról. Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az R²-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:

$\exists\lim\limits_{z_0}f=\infty \quad\Longleftrightarrow \quad\exists\lim\limits_{z_0}|f|=+\infty$

Feladat. Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni.

Nézzük a 0-ban az alábbi függvényeket:

$\frac{2}{z}\;-\;\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\quad\to \infty$ miközben $(\frac{1}{z}+2)\;-\;\frac{1}{z}=2\quad\to 2$

$\frac{1}{z}\;\cdot z=1\quad\to 1$ miközben $\frac{2}{z}\;\cdot\;z=2\quad\to 2$

$\frac{1}{z}/\frac{1}{z}=1\quad\to 1$ miközben $\frac{2}{z}/\frac{1}{z}=2\quad\to 2$

$\frac{z}{z}=1\quad\to 1$ miközben $\frac{2z}{z}=2\quad\to 2$

Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!

$\lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}$ ,
$\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}$ ,
$\lim\limits_{z\to 1}\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}$ ,
$\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}$ ,
$\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}$ ,

Megoldás. 1. nemnulla z-re:

$\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}=\frac{\mathrm{Im}(z)\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{yx-y^2\mathrm{i}}{x^2+y^2}$

de ekkor például az első komponensfüggvény x = 0 felől közelítve 0, míg az x = y-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.

2. $\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\quad\longrightarrow_{z\to i}\quad\infty$

3. $\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }{ \frac{1-iz^2+i}{z^2-1} }=\frac{1+iz-i}{z-1}\cdot \frac{(z+1)(z-1)}{1-iz^2+i}$

$\left.\frac{iz+1-i}{-iz^2+i+1}(z+1)\right|_1=\frac{1}{1}\cdot 1$

4. $\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}}$ csak a valós részt nézve:

$\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|$

az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs határérték.

5. $\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty$ .

Feladat. Adjuk meg minden z₀ ∈ C számra az alábbi függvény határértékét!

$f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z}$ ,
$f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}$ ,

1. $\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}\ne z\}$

Folytonos az értelmezési tartományában. A határon:

$\frac{z}{\overline{z}-z}=\frac{x+iy}{2iy}\,$

z₀ ≠ 0 esetén

$\left|\frac{x+iy}{2iy}\right|\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty$

z₀ = 0 esetén:

$\frac{x+iy}{2iy}=\frac{1}{2}-i\frac{x}{2y}$

ismert, hogy nincs határérték.

2. $\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}z\ne 1\}$

Az egységkör pontjaitól különbözőkre folytonos, az egységkörön a végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték. Ugyanis:

$|f(z)|=\frac{|z|^2}{|\overline{z}z-1|}$ ,

így az egységkörön a számláló az 1-hez, a nevező a nullához tart. A végtelenben pedig t valóssal:

$\lim\limits_{t\to +\infty} f(t+0.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{t^2}{t^2-1}= 1\,$

$\lim\limits_{t\to +\infty} f(t.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{-t^2}{t^2-1}= -1\,$

C-differenciálhatóság

A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől

$(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}$

$(z^2)'=2z\in \mathbf{C}$

mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a

$(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}$

mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.

Definíció - Komplex differenciálhatóság, komplex derivált - Legyen f a z₀ egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f C-deriválható z₀-ban és deriváltja a w szám, ha

$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w$

Jelölése: $f'(z 0)$ .

Azt, hogy az f a z₀-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy

$f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)$ .

Pontbeli deriváltra példa a következő.

Példa. Milyen n egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?

$f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\ 0, & z=0 \end{cases}$

Mo. Ha n>0, akkor a különbségi hányados:

$\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0$ ha z $\to$ 0.

Ha n = 0, akkor

$\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}$

aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).

Ha n < 0, akkor

$\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}$

ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.

Tehát n > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más n < 1-re nem deriválható.

Tétel. - A komplex differenciálhatóság jellemzése - Legyen f a z₀ = x₀ + iy₀ egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:

1) $f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)$

2) $f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)$ és $[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}$ .

Bizonyítás. Legyen f a z₀ = x₀ + iy₀ egy környezetében értelmezett függvény és w komplex szám. Tekintsük a következő határértéket:

$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-[w]\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0$

ahol az z, z₀, f(z), f(z₀) mennyisegekre ugy tekintunk, mint vektorokra. Ez ekvivalens a következővel:

$\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0$

ahol az elobb emlitettek mar algebrai ertelemben komplex szamok, nem feltetlenul vektorok. Azaz

$\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0$

Itt (z-z₀)/|z-z₀| a komplex egységkörön "futó" függvény, hossza 1, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:

$\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0$

Ami viszont ugyanakkor igaz mint:

$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w$

Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol w a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a w mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z₀)]=[w].

Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a w komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható es komplex derivaltja pont w.

Cauchy--Riemann-egyenletek A fenti tételben a [df(z)] ∈ C feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha f = u + iv és z = x +iy, akkor

$\begin{cases} \partial_xu=\partial_yv\\ \partial_yu=-\partial_x v \end{cases}$

Komplex deriváltfüggvény Ahol egy f komplex függvény komplex deriválható, ott a deriváltja:

$f'(z)=\partial_x u+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_y v+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_xu-\mathrm{i}\partial_yu=\partial_y v-\mathrm{i}\partial_yu$

Definíció - Regularitás - Az f komplex függvény reguláris a z pontban, ha f a z egy egész környezetén értelmezett, és a teljes környezetben komplex deriválható.

Feladat. Legyen f(x+iy)=|x|+i|y|. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?

Feladat. Legyen $f (x + i y) = x 2 + i y 3$ . Hol komplex deriválható és hol reguláris f?

Harmonikus társ keresése

Azt mondjuk, hogy a kétszer differenciálható u=u(x,y) valós függvény harmonikus, ha

$u_{xx}''+u_{yy}''\equiv \Delta u\equiv 0\,$

itt Δ a Laplace-operátor (nem a Laplace-transzformátor!, hanem a vektoranalízisbeli vektormezőre Hesse-mátrix nyoma).

A C--R-egyenletek mutatják, hogy ha f=u+iv reguláris, akkor u és v harmonikus függvények. Ugyanis:

$u_x'=v_y'\,$ és

$v_x'=-u_y'\,$

De u és v Hesse-mátrixa is szimmetrikus, ezért:

$v_{yy}''=u_{xy}''=u_{yx}''=-v_{xx}''\,$

azaz

$\Delta v\equiv 0\,$ és fordítva.

Általában az a feladat, hogy ha adott u, akkor keressük az ő harmonikus társát, v-t, mellyel u+iv reguláris. Ha tehát adott u, akkor van F és G, hogy

$F=v_y'\,$

$G=-v_x'\,$

Ami az egzakt differenciálegynlet megoldásánál tanult parciális differenciálegyenlet megoldását igényli v-re, mint potenciálfüggvényre (ekkor f-et komplex pontenciálnak nevezzük, mármint a ( $v' x (x, y)$ , $v y'(x, y)$ ) síkbeli vektormező komplex pontenciáljának; a v valódi pontenciálja lenne. Ennek szükséges utánanézni máshol is!)

1.. Keressünk harmonikus párt az

$u=x^4+y^4-6x^2y^2\,$

függvényhez!

Mo. Van neki, ha Δ=0. Ezt ellenőrizni kell, majd az előző módszerrel megkeresi v-t, amivel u+iv reguláris.

6. gyakorlat

8. gyakorlat

Matematika A3a 2008/7. gyakorlat

A lap jelenlegi, 2016. március 21., 10:39-kori változata

Tartalomjegyzék

Folytonosság

Határérték

Feladat folytonosságra

Feladatok határértékre

C-differenciálhatóság

Harmonikus társ keresése

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
-==Komplex integrál==
+==Folytonosság==
-===Görbék a komplex síkon===
+Azt mondjuk, hogy az ''A'' &sube; '''C''' halmazon értelmezett ''f'' függvény folytonos a ''z'' &isin; '''A''' pontban, ha ''z''-ben ''f'' folytonos mint '''R'''<sup>2</sup> &supe; ''A'' <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény. Maga az ''f'' ''folytonos'', ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
-Ha a &Gamma; '''C'''-beli halmaz olyan, hogy van olyan ''G'':[''a'',''b'']<math>\to</math>'''C''', ''t''<math>\mapsto</math>''z''(''t'') folytonos, veges sok kivetellel folytonosan differenciálható fuggveny, aminek az ertekkeszlete &Gamma;, akkor &Gamma;-t görbének nevezzük. A &Gamma; görbe ''egyszerű'', ha nem metszi át saját magát, azaz minden <math>t_1</math>, <math>t_2</math>-re, ha <math>z(t_1)=z(t_2)</math>, akkor <math>t_1=t_2</math>. ''G'' zárt, ha <math>z(a)=z(b)</math>. A görbe ''t''-beli irányvektorán a
+A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:
-:<math>\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)</math>
-komplex számot értjük.
-Tobb parameterezes is elo tudja allitani a &Gamma; gorbet. Ezek kozul kettot, a <math>z_1</math>-et es a <math>z_2</math>-t ekvivalensnek nevezunk, ha van olyan g:[a,b]<math>\to</math>[c,d] folytonos valos fuggveny, ami (a,b)-n differencialhato, g'>0 es <math>z_2=z_1\circ g</math>. Az osszes parameterezesek halmaza ket osztalyra esik szet, ezek a gorbe ellentetes parameterezeseit adjak.
+'''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha ''f''-et a következő alakban írjuk:
+:<math>f(z)\equiv f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}\cdot v(x,y)</math>
+ahol ''u'' és ''v'' valós értékű függvények (rendre Re(''f'') és Im(''f'')), továbbá ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> &isin; Dom(''f''), akkor a következők ekvivalensek:
+# ''f'' folytonos a ''z''<sub>0</sub>-ban
+# ''u'' és ''v'' függvények folytonosak az (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>)-ban
-====Példák====
+==Határérték==
-'''1.''' Legyen ''t''&isin;[a,b]-re ''z''(''t'') = ''x''(''t'') + i''y''(''t'') olyan, hogy <math>x(t)=x_0+w_1t</math> és <math>y(t)=y_0+w_2t</math>, azaz <math>z(t)=z_0+w t</math>. Ekkor ''z''(''t'') egy egyenes szakasz.
+Komplex függvény '''C'''-beli pontban vett '''C'''-beli határértéke ugyanúgy értelmezett, mint az '''R'''<sup>2</sup> esetben. Itt is érvényes, hogy pontosan akkor látezik a határérték, ha a komponensfüggvényeknek létezik a határértéke és ekkor a határérték egyenlő lesz a valós és képzetes komponens határértékéből alkotott komplex számmal.
-És ekkor:
+A &infin; miatt érdemes külön is megfogalmazni a határérték definícióját, bár az teljesen analóg a valós esettel. Legyen ''f'' egy az ''A'' &sube; '''C''' halmazon értelmezett, '''C'''-be képező függvény. Legyen <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}</math> az ''A'' torlódási pontja, azaz minden ''r'' > 0 esetén legyen olyan ''a'' &isin; ''A'', hogy ''a'' &isin; B<sub>r</sub>(''u'')\{u}. Azt mondjuk, hogy az ''f''-nek a <math>\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{C}}}</math> elem határértéke az ''u''-ban, ha
-:<math>\dot{z}(t)=w</math>
+:minden &epsilon; > 0 esetén létezik olyan &delta; > 0, hogy minden ''z'' &isin; ''A'' &cap; B<sub>&delta;</sub>(''u'')\{u}-re ''f''(''z'') &isin; B<sub>&epsilon;</sub>(''v'')
-'''2.''' Az origó középpontú R sugarú kör:
-:<math>z(t)=Re^{\mathrm{i}t}</math> ''t''&isin;[0,2&pi;]
-És ekkor
-:<math>\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}</math>
-hiszen
-:<math>\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))</math>
-===Komplex vonalmenti integrál===
+ahol természetesen a &infin; környezetei a már említett módon értendők.
-'''Definíció.''' Ha ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)&sube;Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a
-:<math>\begin{matrix}
-\sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\
- & n\to \infty & \\
- & \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\
- & |\Delta z_i|\to 0 &
-\end{matrix}</math>
-határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok <math>z_i</math> pontot, melyek a szigorúan monoton (<math>t_i</math>)-khez tartoznak a <math>z_i=z(t_i)</math> definícióval. Ezen <math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a &zeta;<sub>i</sub> közbülső pontokat, és a &Delta;z<sub>i</sub>=<math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> szakaszokkal elkészítettük az f(&zeta;<sub>i</sub>)&Delta;z<sub>i</sub> komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény ''G''-re vett komplex integrálja.
+A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a <math>z=x+iy</math> pontban a lim<sub>x</sub> u + i lim<sub>y</sub> v szám adja. Ekkor
-'''Kiszámítási formula.''' Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:
-:<math>
-\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t</math>
-'''Megjegyzes''' A helyettesiteses integralas tetelenek felhasznalasaval belathato, hogy ez az integral fuggetlen a parametertezestol, ha azok ugyanazt az iranyitast hatarozzak meg.
+'''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvénynek létezik határértéke és az a helyettesítési érték.
+: <math>\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(z_0)</math>
+A komplex függvények folytonosságának egyik, de nem egyetlen feltétele az, hogy az (u,v) reprezentáció '''R'''<sup>2</sup>-ben lineáris legyen, hiszen ''a véges dimenziós normált terek között ható lineáris leképezések folytonosak.'' A nem-folytonosságnál érdemes a határérték nem létezését vizsgálni, hátha ez célra vezet.
-'''Megj.''' A kiszamitasi formulaban skalarvaltozos vektorerteku fuggveny integralja szerepel. Ezt a kovetkezokeppen kell kiszamitani:
-<math>\int\limits_a^b\begin{pmatrix}f_1(t)\\f_2(t)\end{pmatrix}\,dt=\begin{pmatrix}\int\limits_a^b f_1(t) \,dt\\ \int\limits_a^b  f_2(t)\,dt\end{pmatrix}
-</math>
-===Példa===
+==Feladat folytonosságra==
-'''1.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör pozitívan irányítva.
-:<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}</math>
-Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.
-'''2.''' Legyen ''G'' a z(t)=(1+2i)t, ahol t&isin;[0,1].
+'''Feladat.''' Legyen ''w'' &isin; '''C'''. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!
-:<math>\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=\frac{5}{2}</math>
+# <math>z\mapsto w + z\,</math>
+# <math>z\mapsto w\cdot z\,</math>
+# <math>z\mapsto \overline{z}\,</math>
+# <math>z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)</math>
-'''3.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.
+''Megoldás.''
-:<math>\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\geq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2</math>
-===Komplex Newton--Leibniz-formula===
+Az 1. az '''R'''<sup>2</sup>-ben eltolás a ''w''-nek megfelelő vektorral (Re(''w''), Im(''w''))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.
-Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy az F az f primitív függvénye.
-'''Komplex Newton--Leibniz-formula.''' Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbére:
+. a ''w'' mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.
-:<math>\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)</math>
-(Ha még nem tudjuk, hogy reguláris függvény analitikus, akkor f-ről fel kell tennünk, hogy folytonos.)
+. azaz a konjugálás: (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> (''x'',–''y'') a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.
-'''4.''' Legyen <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math>. Mi az egységkörre az integrálja?
+Végül a reciprok:
-:<math>F(z)=-\frac{1}{z}</math>
+:<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
-primitívfüggvénye f-nek, ezért
+így, mint '''R'''<sup>2</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény:
-:<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0</math>
+:<math>\begin{pmatrix}
-hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.
+x \\
+y
+\end{pmatrix}\mapsto
+\begin{pmatrix}
+\cfrac{x}{x^2+y^2} \\
+\cfrac{-y}{x^2+y^2}
+\end{pmatrix}</math>
+amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
-''Bizonyitas.'' A vonalintegrálra vonatkozó Newton--Leibniz-tétel (I. gradiens tétel) a következő: ha &Phi; folytonosan differenciálható, az értelmezési tartományában haladó G görge végpontjai: a és b, akkor
+'''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az
-:<math>\int\limits_{G}\mathrm{grad}\,\Phi\mathrm{d}\mathbf{r}=\Phi(b)-\Phi(a)</math>
+:<math>f(z)=\left\{
-Ezt a segédvektormezőkre fogjuk alkalmazni.
+\begin{matrix}
+\cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\
+\\
+,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0
+\end{matrix}
+\right.</math>
-:<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x=</math>
+''Megoldás.''
-:<math>=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y</math>
+Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') &ne; (0,0), akkor:
+:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
+\cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\
+\cfrac{x^4}{x^2+y^2}
+\end{pmatrix}</math>
-:<math>F=\Phi+i\Psi</math>
+A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
-:<math>f=F'=\partial_x\Phi+i\partial_y(-\Phi)=u+vi</math>
+:<math>\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|</math>
-:<math>f=F'=\partial_y(\Psi)+i\partial_x(\Psi)=u+vi</math>
+és
-:<math>\mathrm{grad}\,\Phi = (u,-v)</math>
+:<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math>
-:<math>\mathrm{grad}\,\Psi = (v,u)</math>
+így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos.
-:<math>=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y=\Phi(b)-\Phi(a)+i(\Psi(b)-\Psi(a))</math>
-u,v folytonos differenciálhatósága sajnos csak egy későbbi tétel következménye, miszerint reguláris függvény analitikus. Addig a tételben ideiglenesen ki kell kötnünk, hogy ''f'' folytonos.
+Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő '''R'''<sup>2</sup>-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.
-'''Tétel.''' Ha a ''D'' nyílt halmazon értelmezett ''f'' függvénynek van primitív függvénye, akkor ''f'' körintegrálja minden a ''D''-ben haladó zárt görbére nulla:
+'''Állítás.''' Ha ''f'' és ''g'' komplex függvények és az ''z''<sub>0</sub>  pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor
-:<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math>
+# ''f'' + ''g''
+# ''f'' <math>\cdot</math> ''g''
+# <math>\overline{f}</math>
+# ''g''(''z''<sub>0</sub>) &ne; 0 esetén ''f''/''g''
+is folytonos ''z''<sub>0</sub>-ban.
-További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkulációmentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.
-==Cirkulációmentesség==
+Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).
-===Gauss-tétel===
+'''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = i-ben az
-Lássuk először Gauss-tétellel, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.
+:<math>f(z)=\left\{
+\begin{matrix}
+\cfrac{\mathrm{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\
+\\
+,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i}
+\end{matrix}
+\right.</math>
-'''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen '''v''' nyílt halmazon értelmezett C<sup>1</sup>-függvény, ''V'' merheto, peremes térrész és legyen ennek pereme a &part;''V'' kifelé irányított felület. Ha ''V'' a peremével együtt Dom('''v''')-ben van, akkor
+Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') &ne; (0,1), akkor:
-:<math>\oint\limits_{\partial V} \mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V</math>
+:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
+\cfrac{-y+1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \\
+\cfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}
+\end{pmatrix}</math>
-'''Megjegyzes.''' Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.
+Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.
-''Felület.'' Legyenek a &phi;<sup>i</sup>:D<sub>i</sub> <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(''D''<sub>i</sub>)-n, melyek mérhető tartományok '''R'''<sup>2</sup>-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(&phi;<sub>i</sub>(''D''<sub>i</sub>)) &cap; int(&phi;<sub>j</sub>(''D''<sub>j</sub>)) üres, ha ''i'' &ne; ''j'', és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(&phi;<sup>i</sup>)-t előállítottuk paraméteres felületként.
+A második tényező szintén nem.
-Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:
+==Feladatok határértékre==
-:<math>\mathbf{r}_1(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix} h\sin\vartheta\cos \varphi\\ h\sin\vartheta\sin\varphi\\ h\end{matrix}\right.</math>, ha &phi; &isin; [0,2&pi;] és ''h'' &isin; [0,''H'']
+'''Feladat.'''  Igazoljuk definíció szerint, hogy
-:<math>\mathbf{r}_2(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi \\ H\end{matrix}\right.</math>, ha &phi; &isin; [0,2&pi;] és ''r'' &isin; [0,''R'']
+#<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty</math>
-ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, &theta; a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2&pi;] &times; [0,''H''] és [0,2&pi;] &times; [0,''R''].
+#<math>\lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0</math>
+. Legyen &epsilon; > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik &delta; > 0, hogy teljesüljön |''z''| < &delta; esetén, hogy a függvényérték a &infin; &epsilon; sugarú környezetébe esik, azaz:
+:<math>\left|\frac{1}{z}\right|>\frac{1}{\varepsilon}</math>
+Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
+:<math>|z|<\varepsilon</math>
+amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha &delta; := &epsilon; és |''z''| < &delta;, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
-''C<sup>1</sup>-ség''. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a ''D'' paramétertartományon a
+. Legyen &epsilon; > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik &delta; > 0, hogy teljesüljön |''z''| > 1/&delta; esetén, hogy a függvényérték a 0-nak &epsilon; sugarú környezetébe esik, azaz:
-:<math>\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V=\int\limits_{\mathbf{r}^{-1}(V)}\mathrm{div}\,\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v,w))|\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(u,v,w)|\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w</math>
+:<math>\left|\frac{1}{z}\right|<\varepsilon</math>
-képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez létezzen, ahhoz pl. az kell, hogy ne csak az '''r''' = '''r'''(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.
+Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
+:<math>|z|>\frac{1}{\varepsilon}</math>
+amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha &delta; := &epsilon; és |''z''| > 1/&delta;, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
-'''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen ''D'' mérhető peremes síkrész, melynek perme, azaz a &part;D halmaz kifelé irányított síkbeli felület. Ha '''v''' nyílt halmazon értelmezett folytonosan '''R'''-differenciálható és Dom('''v''') tartalmazza ''D'' lezártját, akkor
+A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:
-:<math>\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{D} \mathrm{div}\,(\mathbf{v})\mathrm{d}\mathbf{A}</math>
-ahol &int;d'''f''' kétdimenziós felületi integrált jelöl, &int;d'''A''' pedig kétdimenziós tartományi integrált.
-Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a '''P'''' és '''Q'''' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tételbeli divergenciákat kell kiszámítanunk:
+:Ha ''a'' és ''b'' valamelyike a &infin;  szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az ''a'' * ''b'' alapműveletet akkor értelmezzük a ''c'' szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az &infin;), ha ''minden'' ''a'' határértékű ''f'' függvény esetén  és ''minden'' ''b'' határértékű ''g'' függvény esetén a ''f''*''g'' ''szükségszerűen'' a ''c''-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
-:<math>\mathrm{div}\mathbf{P}'=-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0</math>
+::''a'' * ''b'' = ''c''
-:<math>\mathrm{div}\mathbf{Q}'=\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}=0</math>
+:definíció jó.
-Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
+Például a &infin; + &infin; művelet feltétlenül értelmezett és értéke a &infin;, mert könnyen látható, hogy ''bármely'' két, a &infin;-hez tartó függvény összege is a &infin;-hez tart. De a 0 <math>\cdot</math> &infin; művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) <math>\cdot</math> Re(z) <math>\to</math> 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) <math>\cdot</math> 2 Re(z) <math>\to</math> 2 a z=0-ban.
-Innen
+'''Definíció''' – ''Végtelen és alapműveletek'' – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a &infin;, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban ''z'' tetszőleges komplex szám, ''n'' tetszőleges nemnulla komplex szám:
-:<math>\int\limits_{\partial D}f(z)\mathrm{d}z=0</math>
+# <math>\infty+z=\infty </math>,
+# <math>\infty-z=\infty,  \quad\quad z-\infty=\infty</math>,
+# <math>\infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty</math>,
+# <math>\frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty</math>,
+továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.
-===Stokes-tétel===
+Megjegyezzük még, hogy <math>\overline{\infty}=\infty</math>, azaz a végtelen konjugáltja saját maga.
-Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.
+'''Definíció''' – ''Határozatlan esetek'' –  Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
+# <math>\infty-\infty</math>,
+# <math>0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0</math>,
+# <math>\frac{\infty}{\infty}</math>,
+# <math>\frac{0}{0}</math>
-'''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom('''v''')-beli ''F'' felületen, aminek a &part;''F'' pereme legyen szintén Dom('''v''')-beli és ''F''-hez ''megfelelően irányított'' görbe. Ekkor
-:<math>\oint\limits_{\partial F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F} \mathrm{rot}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math>
-'''Megjegyzes.''' A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsolatos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom('''v''')-re vonatkozólag, előjön a következményében:
+'''Tétel''' – ''Végtelen határérték és alapműveletek'' – Ha az ''f'' és ''g'' komplex függvényeknek létezik határértékük az <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}</math> helyen, az ''f'' * ''g'' alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja ''u''  és a lim<sub>u</sub> ''f'' * lim<sub>u</sub> ''g'' alapművelet elvégezhető, akkor az ''f'' * ''g'' függvénynek is van határértéke ''u''-ban és ez:
+:<math> \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,</math>
+Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
-''Következmény.'' Ha az egyszeresen összefűggő ''U'' nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektormező folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivalens egymással:
+''A bizonyításról.'' Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az '''R'''<sup>2</sup>-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:
-# rot '''v''' eltűnik ''U''-n,
+:<math>\exists\lim\limits_{z_0}f=\infty \quad\Longleftrightarrow \quad\exists\lim\limits_{z_0}|f|=+\infty</math>
-# minden ''U''-ban haladó zárt görbén a '''v''' körintegrálja nulla,
-# létezik '''v'''-nek ''U''-n potenciálja, azaz olyan &Phi; : ''U'' <math>\to</math> '''R''' függvény, melyre grad &Phi; = '''v'''.
-Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.
+'''Feladat.''' Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni.
-'''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen a ''D'' síkbeli tartomany határa a &part;D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha '''v''' folytonosan '''R'''-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza ''D'' lezártját, akkor
+''Nézzük a 0-ban az alábbi függvényeket:''
-:<math>\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}A</math>
+:<math>\frac{2}{z}\;-\;\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\quad\to \infty</math> miközben <math>(\frac{1}{z}+2)\;-\;\frac{1}{z}=2\quad\to 2</math>
-Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:
+<math>\frac{1}{z}\;\cdot z=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2}{z}\;\cdot\;z=2\quad\to 2</math>
-:<math>\mathrm{rot}\mathbf{P}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0</math>
+:<math>\frac{1}{z}/\frac{1}{z}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2}{z}/\frac{1}{z}=2\quad\to 2</math>
-:<math>\mathrm{rot}\mathbf{Q}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0</math>
-Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
+<math>\frac{z}{z}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2z}{z}=2\quad\to 2</math>
-Mindezekből tehát következik, hogy ha a ''D'' peremes síktartomány lezártján az ''f'' komplex függvény (értelmezett és) analitikus, akkor ''D'' peremén az ''f'' integrálja eltünik. A következőkben élesítjük úgy a tételt, hogy elegendő legyen feltenni benne, hogy ''f'' egyszer komplexen deriválható, egyszeresen összefüggő nyílt halmazon értelmezett és a görbe egy benne haladó egyszerű zárt görbe.
+'''Feladat.''' Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!
+# <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}</math>,
+# <math>\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}</math>,
+# <math>\lim\limits_{z\to 1}\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}</math>,
+# <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}</math>,
+# <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}</math>,
-===Green-tétel===
+''Megoldás.''
+. nemnulla ''z''-re:
+:<math>\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}=\frac{\mathrm{Im}(z)\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{yx-y^2\mathrm{i}}{x^2+y^2}</math>
+de ekkor például az első komponensfüggvény ''x'' = 0 felől közelítve 0, míg az ''x'' = ''y''-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.
-A síkbeli Stokes-tételt néha Green-tételnek is nevezik, ha az alábbi alakban van írva. Ez a következő. Legyen a ''D'' síkbeli tartomany határa a &part;D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha a (P,Q) síkbeli vektormező folytonosan '''R'''-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza ''D'' lezártját, akkor
+. <math>\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\quad\longrightarrow_{z\to i}\quad\infty</math>
-:<math>\oint\limits_{\partial D} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>
-HF: Bizonyítsuk be a tételt síkbeli normáltartományra, azaz olyan ''D''-re, melyre:
+. <math>\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }{ \frac{1-iz^2+i}{z^2-1} }=\frac{1+iz-i}{z-1}\cdot \frac{(z+1)(z-1)}{1-iz^2+i}</math>
-:<math>D=\{(x,y)\in \mathbf{R}^2\mid a\leq x\leq b, \;\psi(x)\leq y\leq \varphi(x)\}</math>
+::<math>\left.\frac{iz+1-i}{-iz^2+i+1}(z+1)\right|_1=\frac{1}{1}\cdot 1</math>
-ahol minden x&isin;[a,b]-re &psi;(x)&le;&phi;(x). Itt &psi;, &phi; folytonosan differenciálható.
-===Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel===
+. <math>\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}}</math>
+csak a valós részt nézve:
+:<math>\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|</math>
+az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs határérték.
-Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:
+. <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty</math>.
-'''Goursat-lemma'''. A T háromszöglapon reguláris ''f'' komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:
+'''Feladat.''' Adjuk meg minden ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C''' számra az alábbi függvény határértékét!
-:<math>\oint\limits_{\partial T}f=0\,</math>
+# <math>f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z}</math>,
+# <math>f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}</math>,
+. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}\ne z\}</math>
-''Bizonyitas.'' A haromszoget osszuk fel 4 egybevago haromszogre: &Delta;=&Delta;<sub>1</sub>&cup;&Delta;<sub>2</sub>&cup;&Delta;<sub>3</sub>&cup;&Delta;<sub>4</sub>. Ha jol iranyitjuk a kis haromszogek hatarat, akkor
+Folytonos az értelmezési tartományában. A határon:
-:<math>\int\limits_{\Delta}f=\int\limits_{\Delta_1}f+\int\limits_{\Delta_2}f+\int\limits_{\Delta_3}f+\int\limits_{\Delta_4}f</math>
+:<math>\frac{z}{\overline{z}-z}=\frac{x+iy}{2iy}\,</math>
-Ezt felulbecsulhetjuk a kovetkezovel:
+''z''<sub>0</sub>  &ne; 0 esetén
-:<math>\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq\sum\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|\leq 4\max\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|=4\left|\int\limits_{\Delta^{(1)}}f\right|</math>
+:<math>\left|\frac{x+iy}{2iy}\right|\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty</math>
-most &Delta;<sup>(1)</sup>-et bontjuk fel es folytatva a felosztast egy nullahoz tarto nagysagu haromszogekbol allo egymasba skatulyazott (&Delta;<sup>(''n'')</sup>) haromszogsorozatot kapunk, mely egy ponthoz, a ''z''<sub>0</sub>-hoz tart. A haromszogek kerulete K/2<sup>''n''</sup>, ha K az eredeti haromszog kerulete. Erra a sorozatra tovabba:
+''z''<sub>0</sub>  = 0 esetén:
-:<math>\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq 4^n\left|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f\right|</math>
+:<math>\frac{x+iy}{2iy}=\frac{1}{2}-i\frac{x}{2y}</math>
-igaz.
+ismert, hogy nincs határérték.
-Most felhasznaljuk a komplex differencialhatosagot. Tetszoleges &epsilon;>0 szamra van olyan kornyezete ''z''<sub>0</sub>-nak, es a haromszogsorozatnak olyan N indexe, melyre az n-edik tagok mar a kornyezetben vannak es az alabbi formulaban az |&epsilon;(z)|<&epsilon;:
+. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}z\ne 1\}</math>
-:<math>f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)-\varepsilon(z)(z-z_0)</math>
-Ezt integralva a haromszogre:
+Az egységkör pontjaitól különbözőkre folytonos, az egységkörön a végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték. Ugyanis:
-:<math>|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z)|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=</math>
+:<math>|f(z)|=\frac{|z|^2}{|\overline{z}z-1|}</math>,
-Itt az utolso kifejezest az ivhossz integrallal felulbecsuljuk:
+így az egységkörön a számláló az 1-hez, a nevező a nullához tart. A végtelenben pedig ''t'' valóssal:
-:<math>\leq\int\limits_{\Delta^{(n)}}|\varepsilon(z)||(z-z_0)|\,d|z|<\varepsilon K^2/4^n</math>
+:<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t+0.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{t^2}{t^2-1}= 1\,</math>
-Mivel &epsilon; tetszoleges volt, ezert az integral eltunik.
+:<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{-t^2}{t^2-1}= -1\,</math>
-Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:
-'''Főtétel.''' Ha a ''D'' egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az ''f'' komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G egyszeru görbén a függvény integrálja nulla:
-:<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math>
-===Nehany topologiai fogalom===
+=='''C'''-differenciálhatóság==
+A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől
+:<math>(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}</math>
+:<math>(z^2)'=2z\in \mathbf{C}</math>
+mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a
+:<math>(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}</math>
+mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.
+'''Definíció''' - ''Komplex differenciálhatóság, komplex derivált'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''C'''-deriválható ''z''<sub>0</sub>-ban és deriváltja a ''w'' szám, ha
+:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
+Jelölése: <math>f'(z_0)</math>.
+Azt, hogy az f a ''z''<sub>0</sub>-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy
+:<math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>.
+Pontbeli deriváltra példa a következő.
+'''Példa.''' Milyen ''n'' egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?
+:<math>f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\
+, & z=0
+\end{cases}
+</math>
+''Mo.'' Ha ''n''>0, akkor a különbségi hányados:
+:<math>\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0</math> ha ''z'' <math>\to</math> 0.
+Ha ''n'' = 0, akkor
+:<math>\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}</math>
+aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).
+Ha ''n'' < 0, akkor
+:<math>\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}</math>
+ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.
+Tehát ''n'' > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más ''n'' < 1-re nem deriválható.
+'''Tétel.''' - ''A komplex differenciálhatóság jellemzése'' -  Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub>  egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:
+:1) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>
+:2) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)</math> és <math>[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}</math>.
+''Bizonyítás.'' Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub>  egy környezetében értelmezett függvény és ''w'' komplex szám.
+Tekintsük a következő határértéket:
+:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-[w]\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math>
+ahol az ''z'', ''z''<sub>0</sub>, ''f''(''z''), ''f''(''z''<sub>0</sub>) mennyisegekre ugy tekintunk, mint vektorokra.
+Ez ekvivalens a következővel:
+:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0</math>
+ahol az elobb emlitettek mar algebrai ertelemben komplex szamok, nem feltetlenul vektorok.  Azaz
+:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0</math>
+Itt (''z''-''z''<sub>0</sub>)/|''z''-''z''<sub>0</sub>| a komplex egységkörön "futó" függvény, hossza 1, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:
+:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0</math>
+Ami viszont ugyanakkor igaz mint:
+:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
+Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol ''w'' a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a ''w'' mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z<sub>0</sub>)]=[w].
+Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a ''w'' komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható es komplex derivaltja pont ''w''.
+'''Cauchy--Riemann-egyenletek''' A fenti tételben a [df(z)] &isin; '''C''' feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha ''f'' = ''u'' + i''v'' és ''z'' =  ''x'' +i''y'', akkor
+:<math>\begin{cases}
+\partial_xu=\partial_yv\\
+\partial_yu=-\partial_x v
+\end{cases}</math>
+'''Komplex deriváltfüggvény''' Ahol egy f komplex függvény komplex deriválható, ott a deriváltja:
+:<math>f'(z)=\partial_x u+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_y v+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_xu-\mathrm{i}\partial_yu=\partial_y v-\mathrm{i}\partial_yu</math>
+'''Definíció''' - Regularitás - Az f komplex függvény reguláris a z pontban, ha f a z egy egész környezetén értelmezett, és a teljes környezetben komplex deriválható.
+'''Feladat.''' Legyen f(x+iy)=|x|+i|y|. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?
+'''Feladat.''' Legyen <math>f(x+iy)=x^2+iy^3</math>. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?
+===Harmonikus társ keresése===
+Azt mondjuk, hogy a kétszer differenciálható u=u(x,y) valós függvény ''harmonikus'', ha
+:<math>u_{xx}''+u_{yy}''\equiv \Delta u\equiv 0\, </math>
+itt &Delta; a Laplace-operátor (nem a Laplace-transzformátor!, hanem a vektoranalízisbeli vektormezőre Hesse-mátrix nyoma).
+A C--R-egyenletek mutatják, hogy ha f=u+iv reguláris, akkor u és v harmonikus függvények. Ugyanis:
+:<math>u_x'=v_y'\,</math> és
+:<math>v_x'=-u_y'\,</math>
+De u és v Hesse-mátrixa is szimmetrikus, ezért:
+:<math>v_{yy}''=u_{xy}''=u_{yx}''=-v_{xx}''\,</math>
+azaz
+:<math>\Delta v\equiv 0\,</math> és fordítva.
+Általában az a feladat, hogy ha adott u, akkor keressük az ő harmonikus társát, v-t, mellyel u+iv reguláris. Ha tehát adott u, akkor van F és G, hogy
+:<math>F=v_y'\,</math>
+:<math>G=-v_x'\,</math>
+Ami az egzakt differenciálegynlet megoldásánál tanult parciális differenciálegyenlet megoldását igényli v-re, mint potenciálfüggvényre (ekkor f-et komplex pontenciálnak nevezzük, mármint a (<math>v'_x(x,y)</math>,<math>v_y'(x,y)</math>) síkbeli vektormező komplex pontenciáljának; a v valódi pontenciálja lenne. Ennek szükséges utánanézni máshol is!)
+'''1..''' Keressünk harmonikus párt az
+:<math>u=x^4+y^4-6x^2y^2\,</math>
+függvényhez!
+''Mo.'' Van neki, ha &Delta;=0. Ezt ellenőrizni kell, majd az előző módszerrel megkeresi v-t, amivel u+iv reguláris.
-Egy ''D'' nyilt halmaz '''C'''-ben egyszeresen osszefuggo, ha benne minden zart gorbe ''pontra deformalhato''.
+<center>
-Ez utobbi a kovetkezot jelenti. Azt mondjuk, hogy a &gamma;:[a,b]<math>\to</math>''D'' zart gorbe  a <math>z_0</math>  ''D''-beli pontra deformalhato a ''D'' tartomanyban, ha letezik olyan &Gamma;:[0,1]<math>\to</math> <math>D^{[a,b]}</math> gorbe erteku fuggveny, melyre &Gamma;(1)=&gamma;, &Gamma;(0)=<math>z_0</math> konstans gorbe es &Gamma; az [a,b] es <math>D^{[a,b]}</math> terek kozott hato folytonos lekepezes a szupremumnorma szerint.
+{| class="wikitable" style="text-align:center"
+|- bgcolor="#efefef"
+|[[Matematika A3a 2008/6. gyakorlat |6. gyakorlat]]
+|}
+{| class="wikitable" style="text-align:center"
+|- bgcolor="#efefef"
+|[[Matematika A3a 2008/8. gyakorlat |8. gyakorlat]]
+|}
+</center>
-''Csillagszeru'' egy ''H'' halmaz '''C'''-ben, ha van olyan ''H''-beli pont ''c'' pont, hogy barmely ''H''-beli ''z'' pontra a [''cz''] szakasz ''H''-ban van.
-''Pelda.'' Egy csillagszeru tartomany egyszeresen osszefuggo, mert a csillagpontra valo [0,1]-beli aranyszammal parameterezett kozeppontos kicsinyites kepei alkotta parameteres gorbesereg ilyen.
 [[Kategória:Matematika A3]]