Matematika A3a 2008/8. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
||
| 9. sor: | 9. sor: | ||
====Példák==== | ====Példák==== | ||
| − | Legyen ''t''∈[a,b]-re ''z''(''t'') = ''x''(''t'') + i''y''(''t'') olyan, hogy <math>x(t)=x_0+w_1t</math> és <math>y(t)=y_0+w_2t</math>, azaz <math>z(t)=z_0+w t</math>. Ekkor ''z''(''t'') egy egyenes szakasz. | + | '''1.''' Legyen ''t''∈[a,b]-re ''z''(''t'') = ''x''(''t'') + i''y''(''t'') olyan, hogy <math>x(t)=x_0+w_1t</math> és <math>y(t)=y_0+w_2t</math>, azaz <math>z(t)=z_0+w t</math>. Ekkor ''z''(''t'') egy egyenes szakasz. |
| + | |||
| + | És ekkor: | ||
| + | :<math>\dot{z}(t)=w</math> | ||
| + | '''2.''' Az origó középpontú R sugarú kör: | ||
| + | :<math>z(t)=Re^{\mathrm{i}t}</math> ''t''∈[0,2π] | ||
| + | És ekkor | ||
| + | :<math>\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}</math> | ||
| + | hiszen | ||
| + | :<math>\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))</math> | ||
| + | ===Komplex vonalmenti integrál=== | ||
| + | Ha ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a | ||
A lap 2012. november 4., 00:27-kori változata
Tartalomjegyzék |
Komplex integrál
Görbék a komplex síkon
Ha G:[a,b]
C, t
z(t) folytonosan differenciálható, akkor G-t görbének nevezzük. (Esetleg a folytonos, véges sok helyen nem folytonosan differenciálható előbbi G-ket is görbéknek nevezzük.) A G görbe egyszerű, ha nem metszi át saját magát, azaz minden t1, t2-re, ha z(t1) = z(t2), akkor t1 = t2. G zárt, ha z(a) = z(b). A görbe t-beli irányvektorán a
komplex számot értjük.
Példák
1. Legyen t∈[a,b]-re z(t) = x(t) + iy(t) olyan, hogy x(t) = x0 + w1t és y(t) = y0 + w2t, azaz z(t) = z0 + wt. Ekkor z(t) egy egyenes szakasz.
És ekkor:
2. Az origó középpontú R sugarú kör:
- z(t) = Reit t∈[0,2π]
És ekkor
hiszen
Komplex vonalmenti integrál
Ha G:[a,b]C görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a
