Matematika A3a 2009/11. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (,) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Állandóegyütthatós) |
||
25. sor: | 25. sor: | ||
szep. | szep. | ||
==Állandóegyütthatós== | ==Állandóegyütthatós== | ||
+ | :<math>y''+ay'+by=f(x)\,</math> | ||
+ | Homogén általános: | ||
+ | :<math>y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2}\,</math>, ha λ<sub>1</sub>≠λ<sub>1</sub> valós gyökök | ||
+ | :<math>y=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,</math>, ha λ<sub>1</sub>=λ<sub>1</sub>=λ valós gyök | ||
+ | :<math>y=C_1e^{ax}\sin(bx)+C_2e^{ax}\cos(bx)\,</math>, ha <math>a+bi</math> ill. <math>a-bi</math> nemvalós gyökök. | ||
+ | Ha | ||
+ | :<math>f(x)=e^{\alpha x}(P_1(x)\sin(\beta x)+P_2(x)\cos(\beta x))\,</math> | ||
+ | akkor a partikuláris megoldás kereshető az | ||
+ | :<math>y(x)=x^ke^{\alpha x}(Q_1(x)\sin(\beta x)+Q_2(x)\cos(\beta x))\,</math> | ||
+ | alakban, ahol k megmutatja, hogy az α<math>\pm</math>β szám hányszoros gyöke a | ||
+ | :<math>\lambda^2+a\lambda+b\,</math> | ||
+ | karakterisztikus polinomnak és a Q-k olyan fokszámú meghatározandó polinomok, mint a P-közül a nagyobbik fokszámú. | ||
+ | |||
'''3.''' | '''3.''' | ||
:<math>y''-2y'+5y=xe^{x}\,</math> | :<math>y''-2y'+5y=xe^{x}\,</math> |
A lap 2009. december 10., 23:36-kori változata
Hiányos másodrendű differenciálegyenlet
1. y-ban hiányos egyenlet alakú, azaz a p(x)=y' helyettesítéssel, p-ben elsőrendűvé válik
Mo.
Inhomogén lineáris. A homogén:
Partikuláris:
- c' = x2
2. x-ben hiányos. Ekkor és y'=p(y) ahol így y' ' =pp'
- 2yy'' = y'2
Mo.
szep.
Állandóegyütthatós
Homogén általános:
- , ha λ1≠λ1 valós gyökök
- , ha λ1=λ1=λ valós gyök
- , ha a + bi ill. a − bi nemvalós gyökök.
Ha
akkor a partikuláris megoldás kereshető az
alakban, ahol k megmutatja, hogy az αβ szám hányszoros gyöke a
karakterisztikus polinomnak és a Q-k olyan fokszámú meghatározandó polinomok, mint a P-közül a nagyobbik fokszámú.
3.