Matematika A3a 2009/11. gyakorlat

Hiányos másodrendű differenciálegyenlet

1. y-ban hiányos egyenlet $y''=f(x,y')\,$ alakú, azaz a p(x)=y' helyettesítéssel, p-ben elsőrendűvé válik $p'=f(x,p) \,$

$y'y''+\frac{1}{x}(y')^2=x^2y'\,$

Mo.

$pp'+\frac{1}{x}p^2=x^2p\,$

$p'+\frac{1}{x}p=x^2\,$

Inhomogén lineáris. A homogén:

$\mathrm{ln}\,p=-\mathrm{ln}\,x+C$

$p(x)=\frac{c}{x}\,$

Partikuláris:

$\frac{c'x-c}{x^2}+\frac{c}{x^2}=x^2\,$

c' = x²

$c(x)=\frac{x^3}{3}\,$

$p=\frac{c}{x}+\frac{x^2}{3}$

$y=c_1\mathrm{ln}\,x+\frac{x^2}{9}+c_2$

2. x-ben hiányos. Ekkor $y''=f(y,y')\,$ és y'=p(y) ahol így y' ' =pp'

2yy'' = y'²

Mo.

$2ypp'=p^2\,$

$2yp'=p\,$

$2\mathrm{ln}\,p=\mathrm{ln}\,y+C$

$p(y)=cy^{\frac{1}{2}}$

$y'=cy^{\frac{1}{2}}\,$

szep.

Állandóegyütthatós

$y''+ay'+by=f(x)\,$

Homogén általános:

$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2}\,$, ha λ₁≠λ₁ valós gyökök

$y=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,$, ha λ₁=λ₁=λ valós gyök

$y=C_1e^{ax}\sin(bx)+C_2e^{ax}\cos(bx)\,$, ha a + bi ill. a − bi nemvalós gyökök.

Ha

$f(x)=e^{\alpha x}(P_1(x)\sin(\beta x)+P_2(x)\cos(\beta x))\,$

akkor a partikuláris megoldás kereshető az

$y(x)=x^ke^{\alpha x}(Q_1(x)\sin(\beta x)+Q_2(x)\cos(\beta x))\,$

alakban, ahol k megmutatja, hogy az α$\pm$β szám hányszoros gyöke a

$\lambda^2+a\lambda+b\,$

karakterisztikus polinomnak és a Q-k olyan fokszámú meghatározandó polinomok, mint a P-közül a nagyobbik fokszámú.

3.

$y''-4y'+5y=\sin x\,$

Mo.

$\lambda^2-4\lambda+5=0\,$

$\lambda^2-4\lambda+4=-1\,$

$(\lambda-2)^2=-1\,$

$\lambda=2\pm i\,$

Hom. ált. mo.:

$y=C_1e^{2x}\sin(x)+C_2e^{2x}\cos(x)\,$

Inhom. part.

$y=A\sin x+B\cos x\,$

Laplace-transzformált

Legfontosabb képletek:

$f(t)=e^{at}\,\quad\to\quad F(s)=\frac{1}{s-a}$, $f(t)=t^n\,\quad\to\quad F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}$, $f(t)=e^{at}g(t)\,\quad\to\quad F(s)=G(s-a)$

$\sin(at)\,\quad\to\quad \frac{a}{s^2+a^2}$, $\cos(at)\,\quad\to\quad \frac{s}{s^2+a^2}$

$\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)$, $\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$

$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)\,$

4.

$y''+2y'+2y=0\,\quad\quad y(0)=0,\; y'(0)=1$

Mo.

$s^2Y-1+2sY+2Y=0\,$

$Y(s^2+2s+2)=0\,$

$Y=\frac{1}{s^2+2s+1+1}$

$Y=\frac{1}{(s+1)^+1}$

$y=e^{-x}\sin x\,$

5.

$y''-3y'+2y=6e^{-x}\quad\quad y(0)=y'(0)=3$

Mo.

$s^2Y-3s-3-3sY+9+2Y=\frac{6}{s+1}\,$

$Y(s^2-3s+2)=\frac{6}{s+1}+3(s-2)\,$

$Y=\frac{6}{(s+1)(s-1)(s-2)}+\frac{s-2}{(s-1)(s-2)}\,$

$Y=\frac{6}{(s+1)(s-1)(s-2)}+\frac{1}{s-1}\,$

Euler-típusú

6.

$y''-\frac{2}{x}y'+\frac{2}{x^2}y=x^3,\quad\quad y(2)=2,y'(1)=3$

Mo. Célravezet az x = e^z helyettesítés (most, azaz pozitív x-ekre):

$\ddot{y}-3\dot{y}+2y=e^{5z}$