Matematika A3a 2009/11. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Állandóegyütthatós) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Állandóegyütthatós) |
||
39. sor: | 39. sor: | ||
'''3.''' | '''3.''' | ||
− | :<math>y''- | + | :<math>y''-4y'+5y=\sin x\,</math> |
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>\lambda^2-4\lambda+5=0\,</math> | ||
+ | :<math>\lambda^2-4\lambda+4=-1\,</math> | ||
+ | :<math>(\lambda-2)^2=-1\,</math> | ||
+ | :<math>\lambda=2\pm i\,</math> | ||
+ | Hom. ált. mo.: | ||
+ | :<math>y=C_1e^{2x}\sin(x)+C_2e^{2x}\cos(x)\,</math> | ||
+ | Inhom. part. | ||
+ | :<math>y=A\sin x+B\cos x\,</math> | ||
+ | |||
+ | ==Laplace-transzformált== | ||
+ | Legfontosabb képletek: | ||
+ | :<math>f(t)=e^{at}\,\quad\to\quad F(s)=\frac{1}{s-a} | ||
+ | </math>, <math>f(t)=t^n\,\quad\to\quad F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}} | ||
+ | </math>, <math>f(t)=e^{at}g(t)\,\quad\to\quad F(s)=G(s-a) | ||
+ | </math> | ||
+ | :<math>\sin(at)\,\quad\to\quad \frac{a}{s^2+a^2} | ||
+ | </math>, <math>\cos(at)\,\quad\to\quad \frac{s}{s^2+a^2} | ||
+ | </math> | ||
+ | :<math>\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0) | ||
+ | </math>, <math>\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0) | ||
+ | </math> | ||
+ | :<math>\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)\,</math> | ||
+ | |||
+ | '''4.''' | ||
+ | :<math>y''+2y'+2y=0\,\quad\quad y(0)=0,\; y'(0)=1</math> | ||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>s^2Y-1+2sY+2Y=0\,</math> | ||
+ | :<math>Y(s^2+2s+2)=0\,</math> | ||
+ | :<math>Y=\frac{1}{s^2+2s+1+1}</math> | ||
+ | :<math>Y=\frac{1}{(s+1)^+1}</math> | ||
+ | :<math>y=e^{-x}\sin x\,</math> |
A lap 2009. december 11., 00:14-kori változata
Hiányos másodrendű differenciálegyenlet
1. y-ban hiányos egyenlet alakú, azaz a p(x)=y' helyettesítéssel, p-ben elsőrendűvé válik
Mo.
Inhomogén lineáris. A homogén:
Partikuláris:
- c' = x2
2. x-ben hiányos. Ekkor és y'=p(y) ahol így y' ' =pp'
- 2yy'' = y'2
Mo.
szep.
Állandóegyütthatós
Homogén általános:
- , ha λ1≠λ1 valós gyökök
- , ha λ1=λ1=λ valós gyök
- , ha a + bi ill. a − bi nemvalós gyökök.
Ha
akkor a partikuláris megoldás kereshető az
alakban, ahol k megmutatja, hogy az αβ szám hányszoros gyöke a
karakterisztikus polinomnak és a Q-k olyan fokszámú meghatározandó polinomok, mint a P-közül a nagyobbik fokszámú.
3.
Mo.
Hom. ált. mo.:
Inhom. part.
Laplace-transzformált
Legfontosabb képletek:
- , ,
- ,
- ,
4.
Mo.