Matematika A3a 2009/7. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex integrál) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex integrál) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
==Komplex integrál== | ==Komplex integrál== | ||
+ | |||
+ | A komplex integrálás egy bizonyos pontig szoros párhuzamot mutat az '''R'''<sup>2</sup>-re vonatkozó integráltételekkel. Azonban Goursat eredményét figyelembe véve kiderül, hogy a nyílt halmazon értelmezett komplex differenciálható függvények egyetéen differenciálhatósági osztályt alkotnak (a valósokkal szemben), éspedig az analitikust, amit ezesetben regulárisnak neveznek. | ||
Definíció szerint, ha ''f'': ''D'' <math> \to</math> '''C''' egy nyílt tartományon értelmezett függvény és Γ:[''a'',''b''] <math> \to</math> '''C''' folytonosan differenciálható görbe, akkor a ''f'' integrálja a Γ mentén: | Definíció szerint, ha ''f'': ''D'' <math> \to</math> '''C''' egy nyílt tartományon értelmezett függvény és Γ:[''a'',''b''] <math> \to</math> '''C''' folytonosan differenciálható görbe, akkor a ''f'' integrálja a Γ mentén: | ||
11. sor: | 13. sor: | ||
Persze itt olyan fogalmakkal dolgozunk, amelyeket nyugodtan átfogalmazhatunk egy vonalintegrál párrá, a következőképpen. Tekintsük az ''f'' = ''u'' + ''v'' i függvényt és a dz = dx + i dy szimbólumot. Ekkort fdz komplex formális szorzát elvégezve kapjuk, hogy: | Persze itt olyan fogalmakkal dolgozunk, amelyeket nyugodtan átfogalmazhatunk egy vonalintegrál párrá, a következőképpen. Tekintsük az ''f'' = ''u'' + ''v'' i függvényt és a dz = dx + i dy szimbólumot. Ekkort fdz komplex formális szorzát elvégezve kapjuk, hogy: | ||
− | :<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{\Gamma} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{\Gamma} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x=\int\limits_{\Gamma}(u,-v)\mathrm{d}r+i\int\limits_{\Gamma}(v,u)\mathrm{d}r</math> | + | :<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{\Gamma} u\,\mathrm{d}x-v\,\mathrm{d }y + i\int\limits_{\Gamma} u\,\mathrm{d}y+v\,\mathrm{d }x=</math> |
+ | :<math>=\int\limits_{\Gamma}(u,-v)\,\mathrm{d}r+i\int\limits_{\Gamma}(v,u)\,\mathrm{d}r</math> | ||
+ | |||
+ | ===Integrál kiszámítása paraméteresen=== | ||
A vonalintegál kiszámítására vonatkozó formula komplex változata az lesz, hogy: | A vonalintegál kiszámítására vonatkozó formula komplex változata az lesz, hogy: | ||
17. sor: | 22. sor: | ||
:<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{t=a}^{b}f(z(t))\cdot z'(t)\,\mathrm{d}t</math> | :<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{t=a}^{b}f(z(t))\cdot z'(t)\,\mathrm{d}t</math> | ||
− | Itt z(t)=Γ(t). De így ritkán számolunk komplex integrált. | + | Itt z(t)=Γ(t). '''De így ritkán számolunk komplex integrált.''' |
'''Példa.''' | '''Példa.''' | ||
26. sor: | 31. sor: | ||
De szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula: | De szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula: | ||
:<math>F(z)=z^3,\quad F(-1)-F(1)=-1-1=-2</math> | :<math>F(z)=z^3,\quad F(-1)-F(1)=-1-1=-2</math> | ||
− | '''Tétel (Newton--Leibniz | + | ===Newton--Leibniz-tétel=== |
+ | '''R'''<sup>2</sup> vektorfüggvényeinek integrálása könnyen elvégezhető, ha feltesszük hogy az integrandusnak van potenciálja. Ekkor az első gradiens tételre kell hivatkoznunk. Komplex esetben ez az összefüggés a valós N--L-formula alakját ölti. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' (''Newton--Leibniz'') Ha ''f'': ''D'' <math> \to</math> '''C''' folytonos a ''D'' nyílt halmazon és létezik primitív függvénye, akkor minden a ''D''-ben haladó Γ[a,b] <math>\to</math> '''C''' görére: | ||
:<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=F(z(b))-F(z(a))</math> | :<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=F(z(b))-F(z(a))</math> | ||
ahol Γ kezdő és végpontja z(a) és z(b). | ahol Γ kezdő és végpontja z(a) és z(b). | ||
+ | |||
+ | ''Biz.'' Tegyük fel, hogy F'=f és legyen F = (Φ,Ψ), f=(u,v). Ekkor F deriváltja azonosítható a (Φ,Ψ) vektorfüggvény Jacobi-mátrixával, ami a feltevés szerint folytonos és egyenlő f=(u,v) mátrixalakjával. | ||
+ | :<math>\mathrm{J}^{\Phi \choose \Psi}=\begin{bmatrix}u & -v \\ v & u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm{grad}\;\Phi \\ \mathrm{grad}\,\Psi\end{bmatrix}</math> | ||
+ | Mindkét komponensre felírhatjuk tehát az első gadiens tételt, és kapjuk: | ||
+ | <math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{\Gamma}(u,-v)\,\mathrm{d}r+i\int\limits_{\Gamma}(v,u)\mathrm{d}r=</math> | ||
+ | :<math>=\int\limits_{\Gamma}\mathrm{grad}\,\Phi\,\mathrm{d}r+i\int\limits_{\Gamma}\mathrm{grad}\,\Psi\,\mathrm{d}r=\Phi(2)-\Phi(1)+i(\Psi(2)-\Psi(1))=F(2)-F(1) | ||
+ | </math> | ||
'''Példák.''' | '''Példák.''' |
A lap 2009. november 4., 20:57-kori változata
Tartalomjegyzék |
Komplex integrál
A komplex integrálás egy bizonyos pontig szoros párhuzamot mutat az R2-re vonatkozó integráltételekkel. Azonban Goursat eredményét figyelembe véve kiderül, hogy a nyílt halmazon értelmezett komplex differenciálható függvények egyetéen differenciálhatósági osztályt alkotnak (a valósokkal szemben), éspedig az analitikust, amit ezesetben regulárisnak neveznek.
Definíció szerint, ha f: D C egy nyílt tartományon értelmezett függvény és Γ:[a,b] C folytonosan differenciálható görbe, akkor a f integrálja a Γ mentén:
Fontos, hogy a fenti definícióban az f(z) Δz egy komplex szorzat.
Persze itt olyan fogalmakkal dolgozunk, amelyeket nyugodtan átfogalmazhatunk egy vonalintegrál párrá, a következőképpen. Tekintsük az f = u + v i függvényt és a dz = dx + i dy szimbólumot. Ekkort fdz komplex formális szorzát elvégezve kapjuk, hogy:
Integrál kiszámítása paraméteresen
A vonalintegál kiszámítására vonatkozó formula komplex változata az lesz, hogy:
Itt z(t)=Γ(t). De így ritkán számolunk komplex integrált.
Példa.
hiszen a paraméterezés z(t)=eit, t ∈ [0,π]. Egy vektorértékű valós változós függvényt komponensenként integrálunk:
De szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula:
Newton--Leibniz-tétel
R2 vektorfüggvényeinek integrálása könnyen elvégezhető, ha feltesszük hogy az integrandusnak van potenciálja. Ekkor az első gradiens tételre kell hivatkoznunk. Komplex esetben ez az összefüggés a valós N--L-formula alakját ölti.
Tétel (Newton--Leibniz) Ha f: D C folytonos a D nyílt halmazon és létezik primitív függvénye, akkor minden a D-ben haladó Γ[a,b] C görére:
ahol Γ kezdő és végpontja z(a) és z(b).
Biz. Tegyük fel, hogy F'=f és legyen F = (Φ,Ψ), f=(u,v). Ekkor F deriváltja azonosítható a (Φ,Ψ) vektorfüggvény Jacobi-mátrixával, ami a feltevés szerint folytonos és egyenlő f=(u,v) mátrixalakjával.
Mindkét komponensre felírhatjuk tehát az első gadiens tételt, és kapjuk:
Példák.
hiszen F(z)=-1/z-vel F'=f.
ahol ln 1-et kétféleképpen, egyfelől az első, másfelől a második Riemann-levélen számoltuk ki. A logaritmus Riemann-felületén a logaritmus ugyanis már egyértékű.