Matematika verseny/2013
(Új oldal, tartalma: „== Matematika verseny 2013 == A 2012. évi BME Matematika versenyt 2013. április 15-n rendezték meg. [[Matematika verseny|A verseny általán…”) |
|||
4. sor: | 4. sor: | ||
Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk. | Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk. | ||
+ | |||
+ | Minden feladat 10 pontot ér. | ||
== 1. feladat == | == 1. feladat == | ||
+ | Adott a síkon 4 pont úgy, hogy egy láthatatlan négyzet minden oldalán pontosan egy fekszik belőle. Szerkesszünk egy ilyen tulajdonságú négyzetet. Mikor egyértelmű a megoldás? | ||
+ | |||
+ | == 2. feladat == | ||
+ | Adott 12 szám az (1, 12) intervallumon. Lássuk be, hogy kiválasztható közülük 3 úgy, hogy az a háromszög, melynek oldalhosszai ezen értékek, hegyesszögű. Igaz marad-e az állítás, ha a számokat az [1, 12] zárt szakaszból választjuk? | ||
+ | |||
+ | == 3. feladat == | ||
+ | Egy gráf „majdnem síkbarajzolható”, ha lerajzolható úgy a síkra, hogy minden élét legföljebb egyetlen másik él metszi. Legyen ''e''<sub>''m''</sub>(''n'') az a maximális érték, amely élszámmal még létezik ''n'' csúcsú majdnem síkbarajzolható egyszerű gráf. Adjunk meg minél jobb <math>c, \tilde{c}</math> értékeket, amelyre <math>\exists K</math> úgy, hogy <math>cn - K \le e_m(n) \le \tilde{c}n + K</math> minden „elég nagy” ''n''-re. | ||
+ | |||
+ | == 4. feladat == | ||
+ | Legyenek <math> v_0, \dots v_n \in \mathbb{R}^n </math> egy <math> \Delta \subset \mathbb{R}^n </math> szimplex csúcsai. <math> \Delta </math> ''duálisa'' az a <math> \Delta^d </math> szimplex, amelynek csúcsai a <math> \textstyle w_j = \frac{1}{n} \sum_{k\ne j} v_k \;\; (j = 0..n)</math> pontok. Bizonyítsuk be, hogy ha <math>K \subset \mathbb{R}^n </math> kompakt, konvex és nem üres belsejű, akkor létezik olyan <math> \Delta </math> szimplex, hogy <math> \Delta \supset K \supset \Delta^d </math>. | ||
+ | |||
+ | == 5. feladat == | ||
+ | |||
+ | == 6. feladat == | ||
+ | |||
+ | == 7. feladat == | ||
+ | |||
+ | == 8. feladat == | ||
+ | |||
+ | == 9. feladat == | ||
+ | |||
+ | == 10. feladat == |
A lap 2013. április 16., 17:49-kori változata
Tartalomjegyzék |
Matematika verseny 2013
A 2012. évi BME Matematika versenyt 2013. április 15-n rendezték meg. A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon, a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján.
Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.
Minden feladat 10 pontot ér.
1. feladat
Adott a síkon 4 pont úgy, hogy egy láthatatlan négyzet minden oldalán pontosan egy fekszik belőle. Szerkesszünk egy ilyen tulajdonságú négyzetet. Mikor egyértelmű a megoldás?
2. feladat
Adott 12 szám az (1, 12) intervallumon. Lássuk be, hogy kiválasztható közülük 3 úgy, hogy az a háromszög, melynek oldalhosszai ezen értékek, hegyesszögű. Igaz marad-e az állítás, ha a számokat az [1, 12] zárt szakaszból választjuk?
3. feladat
Egy gráf „majdnem síkbarajzolható”, ha lerajzolható úgy a síkra, hogy minden élét legföljebb egyetlen másik él metszi. Legyen em(n) az a maximális érték, amely élszámmal még létezik n csúcsú majdnem síkbarajzolható egyszerű gráf. Adjunk meg minél jobb értékeket, amelyre úgy, hogy minden „elég nagy” n-re.
4. feladat
Legyenek egy szimplex csúcsai. Δ duálisa az a Δd szimplex, amelynek csúcsai a pontok. Bizonyítsuk be, hogy ha kompakt, konvex és nem üres belsejű, akkor létezik olyan Δ szimplex, hogy .