Matematika verseny/2013
Tartalomjegyzék |
Matematika verseny 2013
A 2013. évi BME Matematika versenyt 2013. április 15-n rendezték meg. A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon, a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján.
Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.
Minden feladat 10 pontot ér.
1. feladat
Adott a síkon 4 pont úgy, hogy egy láthatatlan négyzet minden oldalán pontosan egy fekszik belőle. Szerkesszünk egy ilyen tulajdonságú négyzetet. Mikor egyértelmű a megoldás?
2. feladat
Adott 12 szám az (1, 12) intervallumon. Lássuk be, hogy kiválasztható közülük 3 úgy, hogy az a háromszög, melynek oldalhosszai ezen értékek, hegyesszögű. Igaz marad-e az állítás, ha a számokat az [1, 12] zárt szakaszból választjuk?
3. feladat
Egy gráf „majdnem síkbarajzolható”, ha lerajzolható úgy a síkra, hogy minden élét legföljebb egyetlen másik él metszi. Legyen em(n) az a maximális érték, amely élszámmal még létezik n csúcsú majdnem síkbarajzolható egyszerű gráf. Adjunk meg minél jobb értékeket, amelyre úgy, hogy minden „elég nagy” n-re.
4. feladat
Legyenek egy szimplex csúcsai. Δ duálisa az a Δd szimplex, amelynek csúcsai a pontok. Bizonyítsuk be, hogy ha kompakt, konvex és nem üres belsejű, akkor létezik olyan Δ szimplex, hogy .
5. feladat
Legyen X egy olyan mátrix, amelynek minden elemének abszolút értéke legföljebb 1. Adjunk minél jobb – ha lehet, optimális – fölső becslést | det(X) | -re a következő két esetben: a) X 3×3-as valós, b) X n×n-es komplex.
6. feladat
Legyen egy pozitív Lebesgue-mértékű halmaz. Bizonyítsuk be a kontinuum-hipotézis feltételezése nélkül, hogy S kontinuum számosságú.
7. feladat
Milyen esetén lesz konvergens az rekurziós relációval megadott sorozat, és mi ilyenkor a határérték?
8. feladat
Az folytonos, korlátos függvény a tartomány belsejében holomorf. Legyen . Bizonyítsuk be, hogy a) és b) minden -re.
9. feladat
Mutassuk meg, hogy egy pozitív szemidefinit mátrix pozitív szemidefinit gyöke egyértelmű (azaz ha akkor ), és ezt kihasználva (vagy bárhogy máshogy) bizonyítsuk be, hogy az A, B pozitív definit mátrixok geometriai közepe
független a sorrendtől: .
10. feladat
Legyen X egy binomiális eloszlású valószínűségi változó n és p = 1/2 paraméterkkel, Z egy standard normális eloszlású változó és . Mutassuk meg, hogy és ezt kihasználva (vagy bárhogy máshogy) bizonyítsuk be, hogy minden t > 0 és n = 1, 2, .. értékekre.