Matematika verseny/2013
(→9. feladat) |
|||
(egy szerkesztő 5 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
== Matematika verseny 2013 == | == Matematika verseny 2013 == | ||
− | A | + | A 2013. évi [[Matematika verseny|BME Matematika versenyt]] 2013. április 15-n rendezték meg. [[Matematika verseny|A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon]], [http://www.math.bme.hu/~horvath/verseny.html a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján]. |
Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk. | Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk. | ||
20. sor: | 20. sor: | ||
== 5. feladat == | == 5. feladat == | ||
+ | Legyen <math> X </math> egy olyan mátrix, amelynek minden elemének abszolút értéke legföljebb 1. Adjunk minél jobb – ha lehet, optimális – fölső becslést <math> |\det(X)| </math>-re a következő két esetben: a) ''X'' 3×3-as valós, b) ''X'' ''n''×''n''-es komplex. | ||
== 6. feladat == | == 6. feladat == | ||
+ | Legyen <math> S \subset \mathbb{R} </math> egy pozitív Lebesgue-mértékű halmaz. Bizonyítsuk be a kontinuum-hipotézis feltételezése nélkül, hogy ''S'' kontinuum számosságú. | ||
== 7. feladat == | == 7. feladat == | ||
+ | Milyen <math> a_0 \in \mathbb{C} </math> esetén lesz konvergens az <math> a_k = 2ka_{k-1} - 1 \;\; (k = 1,2,\dots) </math> rekurziós relációval megadott sorozat, és mi ilyenkor a határérték? | ||
== 8. feladat == | == 8. feladat == | ||
+ | Az <math> f : T \to \mathbb{C} </math> folytonos, korlátos függvény a <math> T = \{z \in \mathbb{C} : 0 \le Im(z) \le 1\} </math> tartomány belsejében holomorf. Legyen <math> \textstyle N(x) = \sup_{y \in \mathbb{R}} |f(x + iy)| </math>. Bizonyítsuk be, hogy a) <math> N(x) \le max \{ N(0), N(1) \} </math> és b) <math> N(x) \le N(0)^{1-x} N(1)^x </math> minden <math> x \in [0, 1] </math>-re. | ||
== 9. feladat == | == 9. feladat == | ||
+ | Mutassuk meg, hogy egy pozitív szemidefinit mátrix pozitív szemidefinit gyöke egyértelmű (azaz ha <math> X, Y \ge 0 </math> akkor <math> X^2 = Y^2 \Leftrightarrow X = Y </math>), és ezt kihasználva (vagy bárhogy máshogy) bizonyítsuk be, hogy az ''A'', ''B'' pozitív definit mátrixok ''geometriai közepe'' | ||
+ | :<math> A \mathbin\# B = A^{\frac{1}{2}} (A^{-\frac{1}{2}} B A^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} A^{\frac{1}{2}} </math> | ||
+ | független a sorrendtől: <math> A \mathbin\# B = B \mathbin\# A </math>. <!-- úgy néz ki, a \mathbin parancsnak nincs hatása. miért? --> | ||
== 10. feladat == | == 10. feladat == | ||
+ | Legyen ''X'' egy binomiális eloszlású valószínűségi változó ''n'' és ''p'' = 1/2 paraméterkkel, ''Z'' egy standard normális eloszlású változó és <math> \textstyle Y = \frac{1}{\sqrt{n}}(2X - n) </math>. Mutassuk meg, hogy <math> \mathbf{E}(e^{tZ}) = e^{\frac{1}{2}t^2} </math> és ezt kihasználva (vagy bárhogy máshogy) bizonyítsuk be, hogy <math> \textstyle \mathbf{E}(e^{tY^2}) = \mathbf{E}((\cosh(\sqrt{\frac{2t}{n}}Z))^n) </math> minden ''t'' > 0 és ''n'' = 1, 2, .. értékekre. | ||
+ | |||
+ | == Megjegyzések == |
A lap jelenlegi, 2013. április 16., 18:34-kori változata
Tartalomjegyzék |
Matematika verseny 2013
A 2013. évi BME Matematika versenyt 2013. április 15-n rendezték meg. A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon, a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján.
Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.
Minden feladat 10 pontot ér.
1. feladat
Adott a síkon 4 pont úgy, hogy egy láthatatlan négyzet minden oldalán pontosan egy fekszik belőle. Szerkesszünk egy ilyen tulajdonságú négyzetet. Mikor egyértelmű a megoldás?
2. feladat
Adott 12 szám az (1, 12) intervallumon. Lássuk be, hogy kiválasztható közülük 3 úgy, hogy az a háromszög, melynek oldalhosszai ezen értékek, hegyesszögű. Igaz marad-e az állítás, ha a számokat az [1, 12] zárt szakaszból választjuk?
3. feladat
Egy gráf „majdnem síkbarajzolható”, ha lerajzolható úgy a síkra, hogy minden élét legföljebb egyetlen másik él metszi. Legyen em(n) az a maximális érték, amely élszámmal még létezik n csúcsú majdnem síkbarajzolható egyszerű gráf. Adjunk meg minél jobb értékeket, amelyre úgy, hogy minden „elég nagy” n-re.
4. feladat
Legyenek egy szimplex csúcsai. Δ duálisa az a Δd szimplex, amelynek csúcsai a pontok. Bizonyítsuk be, hogy ha kompakt, konvex és nem üres belsejű, akkor létezik olyan Δ szimplex, hogy .
5. feladat
Legyen X egy olyan mátrix, amelynek minden elemének abszolút értéke legföljebb 1. Adjunk minél jobb – ha lehet, optimális – fölső becslést | det(X) | -re a következő két esetben: a) X 3×3-as valós, b) X n×n-es komplex.
6. feladat
Legyen egy pozitív Lebesgue-mértékű halmaz. Bizonyítsuk be a kontinuum-hipotézis feltételezése nélkül, hogy S kontinuum számosságú.
7. feladat
Milyen esetén lesz konvergens az rekurziós relációval megadott sorozat, és mi ilyenkor a határérték?
8. feladat
Az folytonos, korlátos függvény a tartomány belsejében holomorf. Legyen . Bizonyítsuk be, hogy a) és b) minden -re.
9. feladat
Mutassuk meg, hogy egy pozitív szemidefinit mátrix pozitív szemidefinit gyöke egyértelmű (azaz ha akkor ), és ezt kihasználva (vagy bárhogy máshogy) bizonyítsuk be, hogy az A, B pozitív definit mátrixok geometriai közepe
független a sorrendtől: .
10. feladat
Legyen X egy binomiális eloszlású valószínűségi változó n és p = 1/2 paraméterkkel, Z egy standard normális eloszlású változó és . Mutassuk meg, hogy és ezt kihasználva (vagy bárhogy máshogy) bizonyítsuk be, hogy minden t > 0 és n = 1, 2, .. értékekre.