Matematikai előismeretek 4.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
||
| (egy szerkesztő 8 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 14. sor: | 14. sor: | ||
'''4.''' Hány éle van egy hét csúcspontú teljes (egyszerű) gráfnak? | '''4.''' Hány éle van egy hét csúcspontú teljes (egyszerű) gráfnak? | ||
| − | '''5.''' Hány különböző síkot fektethetünk egyértelműen a térben négy általános helyzetű pontra? És hány egyenest? (Mi az a tetraéder? Euler--Descartes-formula: csúcsok + lapok - élek = 2. Kockára? Ötoldalú gúlára?) | + | '''5.''' Hány különböző síkot fektethetünk egyértelműen a térben négy általános helyzetű pontra? És hány egyenest? (Mi az a tetraéder? Euler--Descartes-formula: csúcsok + lapok - élek = 2. Kockára? Ötoldalú gúlára? Persze ez utóbbiak csúcsai a térben nem általános helyzetűek, mert vannak olyan csúcsnégyeseik vagy ötöseik, melyek egy síkban vannak.) |
'''6. ''' a) Egy teljes gráf összes éleinek száma 78. Hány csúcspontú ez a gráf? b) Egy teljes gráf összes éleinek és csúcsainak számának összege 36. Hány csúcspontú ez a gráf? | '''6. ''' a) Egy teljes gráf összes éleinek száma 78. Hány csúcspontú ez a gráf? b) Egy teljes gráf összes éleinek és csúcsainak számának összege 36. Hány csúcspontú ez a gráf? | ||
| − | '''7.''' Naruto (N) megtanítja Szakurát (S) és Szaszukét (E) a klóndzsucura. Egy háromszemélyes liftbe szeretnének beszállni, klónok is beszállhatnak. Hányféle elrendezésben utazhatnak a liftben? ''( | + | '''7.''' Naruto (N) megtanítja Szakurát (S) és Szaszukét (E) a klóndzsucura. Egy háromszemélyes liftbe szeretnének beszállni, klónok is beszállhatnak. Hányféle elrendezésben utazhatnak a liftben? ''(Ez tulajdonképpen ismétléses kombináció.)'' |
| − | '''8.''' Kódoljuk az előző feladat szituációit a pötty-vonal kódolással: pl. NNS < -- > **|*| , NSS < -- > *|**, SEE < -- > |*|**, ... Gondoljuk végig, hogy ez a kódolás kölcsönösen egyértelmű! Vegyük észre, hogy ezek száma ugyanaz, mintha n+k-1 helyre kéne lerakni k pöttyöt. Ezzel is számoljuk ki az eredményt! ''( | + | '''8.''' Kódoljuk az előző feladat szituációit a pötty-vonal kódolással: pl. NNS < -- > **|*| , NSS < -- > *|**, SEE < -- > |*|**, ... Gondoljuk végig, hogy ez a kódolás kölcsönösen egyértelmű! Vegyük észre, hogy ezek száma ugyanaz, mintha n+k-1 helyre kéne lerakni k pöttyöt. Ezzel is számoljuk ki az eredményt! ''(Ez tulajdonképpen ismétléses kombináció.)'' (Az ilyen gondolatmenetet bijekciós módszernek is nevezik.) |
| − | '''9.''' A 2. feladatban szereplő Náncsi néninek megengedik, hogy egy rekeszbe több levelet is tegyen. Hány lehetőség lesz így? ''( | + | '''9.''' A 2. feladatban szereplő Náncsi néninek megengedik, hogy egy rekeszbe több levelet is tegyen. Hány lehetőség lesz így? ''(Ez tulajdonképpen ismétléses kombináció.)'' |
==Ismétléses kombináció== | ==Ismétléses kombináció== | ||
Ha ''n'' elemből ''k'' elemet akarunk kiválasztani (a sorrendtől eltekintve) úgy, hogy minden elem többször is előfordulhat, akkor ezt | Ha ''n'' elemből ''k'' elemet akarunk kiválasztani (a sorrendtől eltekintve) úgy, hogy minden elem többször is előfordulhat, akkor ezt | ||
| − | :<math>C^{n,i}_{n}=n+k-1\choose k\,</math> | + | :<math>\,C^{n,i}_{n}=</math><math>n+k-1\choose k\,</math> |
-féleképpen tehetjük meg. | -féleképpen tehetjük meg. | ||
| + | |||
| + | == Gyakorló feladatok== | ||
| + | |||
| + | '''1.''' Egy könyvtár egy olvasója a polcról két könyvet vesz le azzal a szándékkal, hogy először az egyiket olvassa el, aztán a másikat. Mindezt találomra teszi és láthatóan a választás sorrendje számít. Ezzel 2862 lehetőség közül dönt egy mellett. Hány könyv van a polcon? | ||
| + | |||
| + | '''2.''' Egy nyolctagú társaság színházba megy. Az egyik sorban kinéznek négy egymás melletti széket. Hányféleképpen választhatják ki egymás közül azt a 4 embert, aki azokra a helyekre ül, ha nem mindegy, hogy ki melyik székre ül (mert mondjuk előttük különböző magasságú nézők foglaltak helyet és máshogy is látszik a székekről a színpad). | ||
| + | |||
| + | '''3.''' Egy kék, egy piros és három fehér dobókockával dobunk egyszerre alkalommal. Hányféle kimenetele lehet a dobásnak? Mi a valószínűsége, hogy a kéken páros, a piroson prímszám, a fehéreken pedig legfeljebb 2 látható? | ||
| + | |||
| + | '''4.''' A négyelemű {1,2,3,4} halmaznak hány három és hány kételemű részhalmaza van? Soroljuk is föl őket! Összesen hány részhalmaza van? | ||
| + | |||
| + | '''5.''' Egy verseny dobogósai között 16 könyvet osztanak ki. A jutalmazás úgy történik, hogy először az aranyérmes választ 5 könyvet, aztán az ezüstérmes 4-et, majd a bronzérmes 3-at. Hányféleképpen kerülhetnek a jutalmazottakhoz a könyvek? | ||
| + | |||
| + | '''6.''' Anna 52 lapos francia kártyapakliból húz 4 lapot. Hányféle leosztásban kerülhet hozzá a 4 lap? Mi annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik király? | ||
| + | |||
| + | '''7.''' Anna 52 lapos francia kártyapakliból húz 4 lapot. Hányféle leosztásban kerülhet hozzá a 4 lap? Mi annak a valószínűsége, hogy legalább kettő király? | ||
| + | |||
| + | '''8.''' Hatan vagyunk az asztalnál, 4 fasírtot osztunk szét úgy, hogy mindenkinek legfeljebb egy lehet a tányérjában. Hányféleképpen oszthatjuk szét a fasírtokat, ha szétvágni őket még keresztényi szeretetből sem nem ér? Mi a valószínűsége, hogy Petinek nem jut fasírt? | ||
| + | |||
| + | '''9.''' Öten vagyunk az asztalnál. Hányféleképpen oszthatunk szét 7 fasírtot, ha egy tányérba akár többet is tehetünk és akár üresen is hagyhatunk tányért. Mi annak a valószínűsége, hogy ha találomra osztogatunk, akkor nekem üres marad a tányérom? | ||
| + | |||
| + | '''10.''' Dobókockával 5-öt dobunk, ez egy dobássorozat. Hány olyan dobássorozat van, melyben pontosan egy 1-es és egy 2-es van? | ||
| + | |||
| + | '''11.''' Dobókockával 5-öt dobunk, ez egy dobássorozat. Hány olyan dobássorozat van, melyben pontosan egy 1-es és két 2-es van? | ||
| + | |||
| + | '''12.''' Négy ugyanolyan dobókockát feldobunk. Hányféle eredményt kaphatunk? Hány olyan van, melyben legalább egy 1-es van? | ||
A lap jelenlegi, 2016. szeptember 29., 21:01-kori változata
- Lásd még: Matematikai előismeretek
Tartalomjegyzék |
Kombináció
Ha n különböző elemből kiválasztunk k elemet, akkor ezt az n elem k-ad osztályú kombinációjának nevezzük. Az n elem összes k-ad osztályú kombinációinak száma:
Ez azonos a Pascal-háromszög n-nel indexelt sorának k-val indexelt elemével, azaz 
-vel. Továbbá azonos az n elemű halmaz összes k elemszámú részhalmazainak számával.
Példák
1. a) Négy ember egyszerre érkezik a kétszemélyes személyfelvonóhoz. Hányféle összeállításban utazhatnak a liftben? b) Ugyanez a kérdés öt emberrel, és b) öt emberrel és háromszemélyes lifttel.
2. Postán 12 rekeszbe 5 levelet tesz Náncsi néni. Mindegyikbe legfeljebb csak egyet. Hányféleképpen helyezheti el a rekeszekbe, ha a leveleket nem tudja megkülönböztetni? Számoljuk is ki!
3. Hatoslottón 45 számból kell eltalálni a kihúzott 6-ot. Legalább hány szelvényt kell kitölteni, hogy biztosan legyen hatosunk?
4. Hány éle van egy hét csúcspontú teljes (egyszerű) gráfnak?
5. Hány különböző síkot fektethetünk egyértelműen a térben négy általános helyzetű pontra? És hány egyenest? (Mi az a tetraéder? Euler--Descartes-formula: csúcsok + lapok - élek = 2. Kockára? Ötoldalú gúlára? Persze ez utóbbiak csúcsai a térben nem általános helyzetűek, mert vannak olyan csúcsnégyeseik vagy ötöseik, melyek egy síkban vannak.)
6. a) Egy teljes gráf összes éleinek száma 78. Hány csúcspontú ez a gráf? b) Egy teljes gráf összes éleinek és csúcsainak számának összege 36. Hány csúcspontú ez a gráf?
7. Naruto (N) megtanítja Szakurát (S) és Szaszukét (E) a klóndzsucura. Egy háromszemélyes liftbe szeretnének beszállni, klónok is beszállhatnak. Hányféle elrendezésben utazhatnak a liftben? (Ez tulajdonképpen ismétléses kombináció.)
8. Kódoljuk az előző feladat szituációit a pötty-vonal kódolással: pl. NNS < -- > **|*| , NSS < -- > *|**, SEE < -- > |*|**, ... Gondoljuk végig, hogy ez a kódolás kölcsönösen egyértelmű! Vegyük észre, hogy ezek száma ugyanaz, mintha n+k-1 helyre kéne lerakni k pöttyöt. Ezzel is számoljuk ki az eredményt! (Ez tulajdonképpen ismétléses kombináció.) (Az ilyen gondolatmenetet bijekciós módszernek is nevezik.)
9. A 2. feladatban szereplő Náncsi néninek megengedik, hogy egy rekeszbe több levelet is tegyen. Hány lehetőség lesz így? (Ez tulajdonképpen ismétléses kombináció.)
Ismétléses kombináció
Ha n elemből k elemet akarunk kiválasztani (a sorrendtől eltekintve) úgy, hogy minden elem többször is előfordulhat, akkor ezt
-féleképpen tehetjük meg.
Gyakorló feladatok
1. Egy könyvtár egy olvasója a polcról két könyvet vesz le azzal a szándékkal, hogy először az egyiket olvassa el, aztán a másikat. Mindezt találomra teszi és láthatóan a választás sorrendje számít. Ezzel 2862 lehetőség közül dönt egy mellett. Hány könyv van a polcon?
2. Egy nyolctagú társaság színházba megy. Az egyik sorban kinéznek négy egymás melletti széket. Hányféleképpen választhatják ki egymás közül azt a 4 embert, aki azokra a helyekre ül, ha nem mindegy, hogy ki melyik székre ül (mert mondjuk előttük különböző magasságú nézők foglaltak helyet és máshogy is látszik a székekről a színpad).
3. Egy kék, egy piros és három fehér dobókockával dobunk egyszerre alkalommal. Hányféle kimenetele lehet a dobásnak? Mi a valószínűsége, hogy a kéken páros, a piroson prímszám, a fehéreken pedig legfeljebb 2 látható?
4. A négyelemű {1,2,3,4} halmaznak hány három és hány kételemű részhalmaza van? Soroljuk is föl őket! Összesen hány részhalmaza van?
5. Egy verseny dobogósai között 16 könyvet osztanak ki. A jutalmazás úgy történik, hogy először az aranyérmes választ 5 könyvet, aztán az ezüstérmes 4-et, majd a bronzérmes 3-at. Hányféleképpen kerülhetnek a jutalmazottakhoz a könyvek?
6. Anna 52 lapos francia kártyapakliból húz 4 lapot. Hányféle leosztásban kerülhet hozzá a 4 lap? Mi annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik király?
7. Anna 52 lapos francia kártyapakliból húz 4 lapot. Hányféle leosztásban kerülhet hozzá a 4 lap? Mi annak a valószínűsége, hogy legalább kettő király?
8. Hatan vagyunk az asztalnál, 4 fasírtot osztunk szét úgy, hogy mindenkinek legfeljebb egy lehet a tányérjában. Hányféleképpen oszthatjuk szét a fasírtokat, ha szétvágni őket még keresztényi szeretetből sem nem ér? Mi a valószínűsége, hogy Petinek nem jut fasírt?
9. Öten vagyunk az asztalnál. Hányféleképpen oszthatunk szét 7 fasírtot, ha egy tányérba akár többet is tehetünk és akár üresen is hagyhatunk tányért. Mi annak a valószínűsége, hogy ha találomra osztogatunk, akkor nekem üres marad a tányérom?
10. Dobókockával 5-öt dobunk, ez egy dobássorozat. Hány olyan dobássorozat van, melyben pontosan egy 1-es és egy 2-es van?
11. Dobókockával 5-öt dobunk, ez egy dobássorozat. Hány olyan dobássorozat van, melyben pontosan egy 1-es és két 2-es van?
12. Négy ugyanolyan dobókockát feldobunk. Hányféle eredményt kaphatunk? Hány olyan van, melyben legalább egy 1-es van?
