Matematikai előismeretek 4.

A MathWikiből
Lásd még: Matematikai előismeretek

Tartalomjegyzék

Kombináció

Ha n különböző elemből kiválasztunk k elemet, akkor ezt az n elem k-ad osztályú kombinációjának nevezzük. Az n elem összes k-ad osztályú kombinációinak száma:

C^{k}_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}\,

Ez azonos a Pascal-háromszög n-nel indexelt sorának k-val indexelt elemével, azaz n\choose k-vel. Továbbá azonos az n elemű halmaz összes k elemszámú részhalmazainak számával.

Példák

1. a) Négy ember egyszerre érkezik a kétszemélyes személyfelvonóhoz. Hányféle összeállításban utazhatnak a liftben? b) Ugyanez a kérdés öt emberrel, és b) öt emberrel és háromszemélyes lifttel.

2. Postán 12 rekeszbe 5 levelet tesz Náncsi néni. Mindegyikbe legfeljebb csak egyet. Hányféleképpen helyezheti el a rekeszekbe, ha a leveleket nem tudja megkülönböztetni? Számoljuk is ki!

3. Hatoslottón 45 számból kell eltalálni a kihúzott 6-ot. Legalább hány szelvényt kell kitölteni, hogy biztosan legyen hatosunk?

4. Hány éle van egy hét csúcspontú teljes (egyszerű) gráfnak?

5. Hány különböző síkot fektethetünk egyértelműen a térben négy általános helyzetű pontra? És hány egyenest? (Mi az a tetraéder? Euler--Descartes-formula: csúcsok + lapok - élek = 2. Kockára? Ötoldalú gúlára? Persze ez utóbbiak csúcsai a térben nem általános helyzetűek, mert vannak olyan csúcsnégyeseik vagy ötöseik, melyek egy síkban vannak.)

6. a) Egy teljes gráf összes éleinek száma 78. Hány csúcspontú ez a gráf? b) Egy teljes gráf összes éleinek és csúcsainak számának összege 36. Hány csúcspontú ez a gráf?

7. Naruto (N) megtanítja Szakurát (S) és Szaszukét (E) a klóndzsucura. Egy háromszemélyes liftbe szeretnének beszállni, klónok is beszállhatnak. Hányféle elrendezésben utazhatnak a liftben? (Ez tulajdonképpen ismétléses kombináció.)

8. Kódoljuk az előző feladat szituációit a pötty-vonal kódolással: pl. NNS < -- > **|*| , NSS < -- > *|**, SEE < -- > |*|**, ... Gondoljuk végig, hogy ez a kódolás kölcsönösen egyértelmű! Vegyük észre, hogy ezek száma ugyanaz, mintha n+k-1 helyre kéne lerakni k pöttyöt. Ezzel is számoljuk ki az eredményt! (Ez tulajdonképpen ismétléses kombináció.) (Az ilyen gondolatmenetet bijekciós módszernek is nevezik.)

9. A 2. feladatban szereplő Náncsi néninek megengedik, hogy egy rekeszbe több levelet is tegyen. Hány lehetőség lesz így? (Ez tulajdonképpen ismétléses kombináció.)

Ismétléses kombináció

Ha n elemből k elemet akarunk kiválasztani (a sorrendtől eltekintve) úgy, hogy minden elem többször is előfordulhat, akkor ezt

\,C^{n,i}_{n}=n+k-1\choose k\,

-féleképpen tehetjük meg.

Gyakorló feladatok

1. Egy könyvtár egy olvasója a polcról két könyvet vesz le azzal a szándékkal, hogy először az egyiket olvassa el, aztán a másikat. Mindezt találomra teszi és láthatóan a választás sorrendje számít. Ezzel 2862 lehetőség közül dönt egy mellett. Hány könyv van a polcon?

2. Egy nyolctagú társaság színházba megy. Az egyik sorban kinéznek négy egymás melletti széket. Hányféleképpen választhatják ki egymás közül azt a 4 embert, aki azokra a helyekre ül, ha nem mindegy, hogy ki melyik székre ül (mert mondjuk előttük különböző magasságú nézők foglaltak helyet és máshogy is látszik a székekről a színpad).

3. Egy kék, egy piros és három fehér dobókockával dobunk egyszerre alkalommal. Hányféle kimenetele lehet a dobásnak? Mi a valószínűsége, hogy a kéken páros, a piroson prímszám, a fehéreken pedig legfeljebb 2 látható?

4. A négyelemű {1,2,3,4} halmaznak hány három és hány kételemű részhalmaza van? Soroljuk is föl őket! Összesen hány részhalmaza van?

5. Egy verseny dobogósai között 16 könyvet osztanak ki. A jutalmazás úgy történik, hogy először az aranyérmes választ 5 könyvet, aztán az ezüstérmes 4-et, majd a bronzérmes 3-at. Hányféleképpen kerülhetnek a jutalmazottakhoz a könyvek?

6. Anna 52 lapos francia kártyapakliból húz 4 lapot. Hányféle leosztásban kerülhet hozzá a 4 lap? Mi annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik király?

7. Anna 52 lapos francia kártyapakliból húz 4 lapot. Hányféle leosztásban kerülhet hozzá a 4 lap? Mi annak a valószínűsége, hogy legalább kettő király?

8. Hatan vagyunk az asztalnál, 4 fasírtot osztunk szét úgy, hogy mindenkinek legfeljebb egy lehet a tányérjában. Hányféleképpen oszthatjuk szét a fasírtokat, ha szétvágni őket még keresztényi szeretetből sem nem ér? Mi a valószínűsége, hogy Petinek nem jut fasírt?

9. Öten vagyunk az asztalnál. Hányféleképpen oszthatunk szét 7 fasírtot, ha egy tányérba akár többet is tehetünk és akár üresen is hagyhatunk tányért. Mi annak a valószínűsége, hogy ha találomra osztogatunk, akkor nekem üres marad a tányérom?

10. Dobókockával 5-öt dobunk, ez egy dobássorozat. Hány olyan dobássorozat van, melyben pontosan egy 1-es és egy 2-es van?

11. Dobókockával 5-öt dobunk, ez egy dobássorozat. Hány olyan dobássorozat van, melyben pontosan egy 1-es és két 2-es van?

12. Négy ugyanolyan dobókockát feldobunk. Hányféle eredményt kaphatunk? Hány olyan van, melyben legalább egy 1-es van?

Személyes eszközök