Matematikai előismeretek 4.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
'''1.''' a) Négy ember egyszerre érkezik a kétszemélyes személyfelvonóhoz. Hányféle összeállításban utazhatnak a liftben? b) Ugyanez a kérdés öt emberrel, és b) öt emberrel és háromszemélyes lifttel. | '''1.''' a) Négy ember egyszerre érkezik a kétszemélyes személyfelvonóhoz. Hányféle összeállításban utazhatnak a liftben? b) Ugyanez a kérdés öt emberrel, és b) öt emberrel és háromszemélyes lifttel. | ||
| − | '''2.''' Postán 12 rekeszbe 5 levelet tesz | + | '''2.''' Postán 12 rekeszbe 5 levelet tesz Náncsi néni. Mindegyikbe legfeljebb csak egyet. Hányféleképpen helyezheti el a rekeszekbe, ha a leveleket nem tudja megkülönböztetni? Számoljuk is ki! |
'''3.''' Hatoslottón 45 számból kell eltalálni a kihúzott 6-ot. Legalább hány szelvényt kell kitölteni, hogy biztosan legyen hatosunk? | '''3.''' Hatoslottón 45 számból kell eltalálni a kihúzott 6-ot. Legalább hány szelvényt kell kitölteni, hogy biztosan legyen hatosunk? | ||
| 17. sor: | 17. sor: | ||
'''6. ''' a) Egy teljes gráf összes éleinek száma 78. Hány csúcspontú ez a gráf? b) Egy teljes gráf összes éleinek és csúcsainak számának összege 36. Hány csúcspontú ez a gráf? | '''6. ''' a) Egy teljes gráf összes éleinek száma 78. Hány csúcspontú ez a gráf? b) Egy teljes gráf összes éleinek és csúcsainak számának összege 36. Hány csúcspontú ez a gráf? | ||
| + | |||
| + | '''7.''' Naruto (N) megtanítja Szakurát (S) és Szaszukét (E) a klóndzsucura. Egy háromszemélyes liftbe szeretnének beszállni, klónok is beszállhatnak. Hányféle elrendezésben utazhatnak a liftben? ''(Ezt ismétléses kombináció.)'' | ||
| + | |||
| + | '''8.''' Kódoljuk az előző feladat szituációit a pötty-vonal kódolással: pl. NNS < -- > **|*| , NSS < -- > *|**, SEE < -- > |*|**, ... Gondoljuk végig, hogy ez a kódolás kölcsönösen egyértelmű! Vegyük észre, hogy ezek száma ugyanaz, mintha n+k-1 helyre kéne lerakni k pöttyöt. Ezzel is számoljuk ki az eredményt! ''(Ezt ismétléses kombináció.)'' (Az ilyen gondolatmenetet bijekciós módszernek is nevezik.) | ||
| + | |||
| + | '''9.''' A 2. feladatban szereplő Náncsi néninek megengedik, hogy egy rekeszbe több levelet is tegyen. Hány lehetőség lesz így? ''(Ezt ismétléses kombináció.)'' | ||
| + | |||
| + | ==Ismétléses kombináció== | ||
| + | Ha ''n'' elemből ''k'' elemet akarunk kiválasztani (a sorrendtől eltekintve) úgy, hogy minden elem többször is előfordulhat, akkor ezt | ||
| + | :<math>C^{n,i}_{n}=n+k-1\choose k\,</math> | ||
| + | -féleképpen tehetjük meg. | ||
A lap 2016. szeptember 8., 22:21-kori változata
- Lásd még: Matematikai előismeretek
Kombináció
Ha n különböző elemből kiválasztunk k elemet, akkor ezt az n elem k-ad osztályú kombinációjának nevezzük. Az n elem összes k-ad osztályú kombinációinak száma:
Ez azonos a Pascal-háromszög n-nel indexelt sorának k-val indexelt elemével, azaz 
-vel. Továbbá azonos az n elemű halmaz összes k elemszámú részhalmazainak számával.
Példák
1. a) Négy ember egyszerre érkezik a kétszemélyes személyfelvonóhoz. Hányféle összeállításban utazhatnak a liftben? b) Ugyanez a kérdés öt emberrel, és b) öt emberrel és háromszemélyes lifttel.
2. Postán 12 rekeszbe 5 levelet tesz Náncsi néni. Mindegyikbe legfeljebb csak egyet. Hányféleképpen helyezheti el a rekeszekbe, ha a leveleket nem tudja megkülönböztetni? Számoljuk is ki!
3. Hatoslottón 45 számból kell eltalálni a kihúzott 6-ot. Legalább hány szelvényt kell kitölteni, hogy biztosan legyen hatosunk?
4. Hány éle van egy hét csúcspontú teljes (egyszerű) gráfnak?
5. Hány különböző síkot fektethetünk egyértelműen a térben négy általános helyzetű pontra? És hány egyenest? (Mi az a tetraéder? Euler--Descartes-formula: csúcsok + lapok - élek = 2. Kockára? Ötoldalú gúlára?)
6. a) Egy teljes gráf összes éleinek száma 78. Hány csúcspontú ez a gráf? b) Egy teljes gráf összes éleinek és csúcsainak számának összege 36. Hány csúcspontú ez a gráf?
7. Naruto (N) megtanítja Szakurát (S) és Szaszukét (E) a klóndzsucura. Egy háromszemélyes liftbe szeretnének beszállni, klónok is beszállhatnak. Hányféle elrendezésben utazhatnak a liftben? (Ezt ismétléses kombináció.)
8. Kódoljuk az előző feladat szituációit a pötty-vonal kódolással: pl. NNS < -- > **|*| , NSS < -- > *|**, SEE < -- > |*|**, ... Gondoljuk végig, hogy ez a kódolás kölcsönösen egyértelmű! Vegyük észre, hogy ezek száma ugyanaz, mintha n+k-1 helyre kéne lerakni k pöttyöt. Ezzel is számoljuk ki az eredményt! (Ezt ismétléses kombináció.) (Az ilyen gondolatmenetet bijekciós módszernek is nevezik.)
9. A 2. feladatban szereplő Náncsi néninek megengedik, hogy egy rekeszbe több levelet is tegyen. Hány lehetőség lesz így? (Ezt ismétléses kombináció.)
Ismétléses kombináció
Ha n elemből k elemet akarunk kiválasztani (a sorrendtől eltekintve) úgy, hogy minden elem többször is előfordulhat, akkor ezt
-féleképpen tehetjük meg.
