Szerkesztő:Mozo/A2 gyakorló feladatok 3
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
56. sor: | 56. sor: | ||
0 & 0 | 0 & 0 | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | '''2.'''Legyen f és g a (-1,1)×(-1,1) kockán értelmezett | ||
+ | :<math>f(x,y)=\begin{cases}\frac{x\ln(1+y)}{x^2+y^2},\quad (x,y)\ne(0,0)\\0,\quad (x,y)=(0,0)\end{cases}</math> | ||
+ | :<math>g(x,y)=\begin{cases}\frac{\sin(x)y^6}{x^4+y^6},\quad (x,y)\ne(0,0)\\0,\quad (x,y)=(0,0)\end{cases}</math> | ||
+ | függvény. Folytonosak-e az origóban? | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math> \frac{x\ln(1+y)}{x^2+y^2}=\frac{\ln(1+y)}{y}\frac{xy}{x^2+y^2}</math> | ||
+ | Innen sejthető, hogy nem folytonos. Az (x,0) mentén 0, de az (x,x) mentén | ||
+ | :<math> \frac{\ln(1+x)}{x}\frac{x^2}{2x^2}=\frac{\ln(1+x)}{x}\to 1</math>, ha (x,y) <math>\to</math> (0,0) | ||
+ | |||
+ | Másik: | ||
+ | :<math>g(x,y)=\frac{\sin(x)\sin(y^6)}{x^4+y^6}=\frac{\sin y^6}{y^6}\frac{\sin(x)y^6}{x^4+y^6}</math> | ||
+ | :<math>|g(x,y)|\leq\left|\frac{\sin y^6}{y^6}\right|\left|\frac{\sin(x)y^6}{y^6}\right|=\left|\frac{\sin y^6}{y6}\right| |\sin x|\to 1\cdot 0=0</math>, ha (x,y) <math>\to</math> (0,0) |
A lap 2010. április 21., 15:17-kori változata
1.
a) Invertálható-e és ha igen mik az A-100 sajátértékei, ha
A-100=?
b) Mik az A100 sajátértékei és sajátvektorai, ha
Adjunk meg egy sajátbázisát, igazoljuk, hogy ebben az operátor diagonális. Mo. a) Invertálható, inverze:
A sajátértékegyenlet:
de
azaz ha λ sajátértéke A-nak, akkor λn sajátértéke An-nek. Ez n=-1-re 1/λ sajátértéke A-1-nek, ha λ nem nulla.
A karakterisztikus egyenlet:
azaz a sajátértékek a 2 és a 3. A -100-adiké ezek -100-adik hatványai és több nem lehet, mert a karakterisztikus polinom gyökei csak 2-en lehetnek.
b) Ez egy valódi altérbe képező operátor, mert dim Im A = 1. Espedig a képtér: {(x,2x) | x ∈ R}. A sajátértékei:
0;1. Az 1-hez tartozó sajátaltér: az Im A, a 0-hoz tartozó a Ker A = {(0,y) | y ∈ R}. Sajátbázis: {(0,1),(1,2)}. A bázistrafó:
2.Legyen f és g a (-1,1)×(-1,1) kockán értelmezett
függvény. Folytonosak-e az origóban?
Mo.
Innen sejthető, hogy nem folytonos. Az (x,0) mentén 0, de az (x,x) mentén
- , ha (x,y) (0,0)
Másik:
- , ha (x,y) (0,0)