Szerkesztő:Mozo/A2 gyakorló feladatok 3

1.

a) Invertálható-e és ha igen mik az A^-100 sajátértékei, ha

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

A^-100=?

b) Mik az A¹⁰⁰ sajátértékei és sajátvektorai, ha

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 0 \end{bmatrix}$

Adjunk meg egy sajátbázisát, igazoljuk, hogy ebben az operátor diagonális. Mo. a) Invertálható, inverze:

$\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{6}\begin{bmatrix} 3 & -1\\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

A sajátértékegyenlet:

$\mathbf{A}v=\lambda v\,$

de

$\mathbf{A}\mathbf{A}v=\mathbf{A}\lambda v=\lambda \mathbf{A}v=\lambda ^2v\,$

azaz ha λ sajátértéke A-nak, akkor λⁿ sajátértéke Aⁿ-nek. Ez n=-1-re 1/λ sajátértéke A^-1-nek, ha λ nem nulla.

A karakterisztikus egyenlet:

$(2-\lambda)(3-\lambda)=0\,$

azaz a sajátértékek a 2 és a 3. A -100-adiké ezek -100-adik hatványai és több nem lehet, mert a karakterisztikus polinom gyökei csak 2-en lehetnek.

b) Ez egy valódi altérbe képező operátor, mert dim Im A = 1. Espedig a képtér: {(x,2x) | x ∈ R}. A sajátértékei:

$(1-\lambda)\lambda=0\,$

0;1. Az 1-hez tartozó sajátaltér: az Im A, a 0-hoz tartozó a Ker A = {(0,y) | y ∈ R}. Sajátbázis: {(0,1),(1,2)}. A bázistrafó:

$T=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

$T^{-1}AT=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

2.Legyen f és g a (-1,1)×(-1,1) kockán értelmezett

$f(x,y)=\begin{cases}\frac{x\ln(1+y)}{x^2+y^2},\quad (x,y)\ne(0,0)\\0,\quad (x,y)=(0,0)\end{cases}$

$g(x,y)=\begin{cases}\frac{\sin(x)y^6}{x^4+y^6},\quad (x,y)\ne(0,0)\\0,\quad (x,y)=(0,0)\end{cases}$

függvény. Folytonosak-e az origóban?

Mo.

$\frac{x\ln(1+y)}{x^2+y^2}=\frac{\ln(1+y)}{y}\frac{xy}{x^2+y^2}$

Innen sejthető, hogy nem folytonos. Az (x,0) mentén 0, de az (x,x) mentén

$\frac{\ln(1+x)}{x}\frac{x^2}{2x^2}=\frac{\ln(1+x)}{x}\frac{1}{2}\to \frac{1}{2}$, ha (x,y) $\to$ (0,0)

Másik:

$g(x,y)=\frac{\sin(x)\sin(y^6)}{x^4+y^6}=\frac{\sin y^6}{y^6}\frac{\sin(x)y^6}{x^4+y^6}$

$|g(x,y)|\leq\left|\frac{\sin y^6}{y^6}\right|\left|\frac{\sin(x)y^6}{y^6}\right|=\left|\frac{\sin y^6}{y^6}\right| |\sin x|\to 1\cdot 0=0$, ha (x,y) $\to$ (0,0)

3. Defferenciálhatóak-e az alábbi függvények a megadott pontban? Mi az (1,2) irányú iránymenti deriváltjuk?

$f(x,y)=\sqrt[3]{(x^2+y^2)^2},\quad P=(0,0)$

$g(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{(x-1)^2+(y-1)^2},\quad (x,y)\ne(1,1)\\0,\quad (x,y)=(1,1)\end{cases},\quad P=(2,2)$

Mo. A köbgyök nem diffható a 0-ban, így külön kell megnézni. A parciálisok:

$f(x,0)=\sqrt[3]{x^4}, \quad f(0,y)=\sqrt[3]{y^4}$

innen: grad f(0,0)= [0,0]. $|\frac{\sqrt[3]{(x^2+y^2)^2}-0}{\sqrt{x^2+y^2}}|=|(x^2+y^2)^{1/6}|\to 0$ tehát az iránymenti 0.

Másik.

$\partial_x g(x,y)=\frac{y((x-1)^2+(y-1)^2)-xy2(x-1)}{((x-1)^2+(y-1)^2)^2}$

4.

$T=\{(x,y)\mid 0<y<\sqrt{x}\wedge 0<x<1\}$

$f(x,y)=\frac{xy}{1+x^3}\,$

$\int\limits_{T}f=?$

Mo.

$\int\limits_{x=0}^{1}\int\limits_{y=0}^\sqrt{x}\frac{xy}{1+x^3}\,\mathrm{d}y \mathrm{d}x=\int\limits_{x=0}^{1}\frac{1}{3}\frac{3x^2}{1+x^3}\, \mathrm{d}x=$

5. Melyik konvergens?

a) $\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{3}+\frac{3}{n}\right)^n$

b) $\sum\limits_{n=1}^\infty n\sin(\frac{1}{n^2})$

c) $\sum\limits_{n=1}^\infty \mathrm{sin}\frac{1}{n^2}$

d) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\mathrm{arctg}\,n^2}$

e) $\sum\limits_{n=1}^\infty e^{-\mathrm{arctg}(n)}$