Szerkesztő:Mozo/A2 gyakorló feladatok 3
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
(egy szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
56. sor: | 56. sor: | ||
0 & 0 | 0 & 0 | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | '''2.'''Legyen f és g a (-1,1)×(-1,1) kockán értelmezett | ||
+ | :<math>f(x,y)=\begin{cases}\frac{x\ln(1+y)}{x^2+y^2},\quad (x,y)\ne(0,0)\\0,\quad (x,y)=(0,0)\end{cases}</math> | ||
+ | :<math>g(x,y)=\begin{cases}\frac{\sin(x)y^6}{x^4+y^6},\quad (x,y)\ne(0,0)\\0,\quad (x,y)=(0,0)\end{cases}</math> | ||
+ | függvény. Folytonosak-e az origóban? | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math> \frac{x\ln(1+y)}{x^2+y^2}=\frac{\ln(1+y)}{y}\frac{xy}{x^2+y^2}</math> | ||
+ | Innen sejthető, hogy nem folytonos. Az (x,0) mentén 0, de az (x,x) mentén | ||
+ | :<math> \frac{\ln(1+x)}{x}\frac{x^2}{2x^2}=\frac{\ln(1+x)}{x}\frac{1}{2}\to \frac{1}{2}</math>, ha (x,y) <math>\to</math> (0,0) | ||
+ | |||
+ | Másik: | ||
+ | :<math>g(x,y)=\frac{\sin(x)\sin(y^6)}{x^4+y^6}=\frac{\sin y^6}{y^6}\frac{\sin(x)y^6}{x^4+y^6}</math> | ||
+ | :<math>|g(x,y)|\leq\left|\frac{\sin y^6}{y^6}\right|\left|\frac{\sin(x)y^6}{y^6}\right|=\left|\frac{\sin y^6}{y^6}\right| |\sin x|\to 1\cdot 0=0</math>, ha (x,y) <math>\to</math> (0,0) | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Defferenciálhatóak-e az alábbi függvények a megadott pontban? Mi az (1,2) irányú iránymenti deriváltjuk? | ||
+ | :<math>f(x,y)=\sqrt[3]{(x^2+y^2)^2},\quad P=(0,0)</math> | ||
+ | :<math>g(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{(x-1)^2+(y-1)^2},\quad (x,y)\ne(1,1)\\0,\quad (x,y)=(1,1)\end{cases},\quad P=(2,2)</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' A köbgyök nem diffható a 0-ban, így külön kell megnézni. A parciálisok: | ||
+ | :<math>f(x,0)=\sqrt[3]{x^4}, \quad f(0,y)=\sqrt[3]{y^4}</math> | ||
+ | innen: grad f(0,0)= [0,0]. | ||
+ | <math>|\frac{\sqrt[3]{(x^2+y^2)^2}-0}{\sqrt{x^2+y^2}}|=|(x^2+y^2)^{1/6}|\to 0</math> | ||
+ | tehát az iránymenti 0. | ||
+ | |||
+ | Másik. | ||
+ | :<math>\partial_x g(x,y)=\frac{y((x-1)^2+(y-1)^2)-xy2(x-1)}{((x-1)^2+(y-1)^2)^2}</math> | ||
+ | |||
+ | '''4.''' | ||
+ | :<math>T=\{(x,y)\mid 0<y<\sqrt{x}\wedge 0<x<1\}</math> | ||
+ | :<math>f(x,y)=\frac{xy}{1+x^3}\,</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{T}f=?</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>\int\limits_{x=0}^{1}\int\limits_{y=0}^\sqrt{x}\frac{xy}{1+x^3}\,\mathrm{d}y | ||
+ | \mathrm{d}x=\int\limits_{x=0}^{1}\frac{1}{3}\frac{3x^2}{1+x^3}\, | ||
+ | \mathrm{d}x=</math> | ||
+ | |||
+ | '''5.''' | ||
+ | Melyik konvergens? | ||
+ | |||
+ | a) <math>\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{3}+\frac{3}{n}\right)^n</math> | ||
+ | |||
+ | b) <math>\sum\limits_{n=1}^\infty n\sin(\frac{1}{n^2})</math> | ||
+ | |||
+ | c) <math>\sum\limits_{n=1}^\infty \mathrm{sin}\frac{1}{n^2}</math> | ||
+ | |||
+ | d) <math>\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\mathrm{arctg}\,n^2}</math> | ||
+ | |||
+ | e) <math>\sum\limits_{n=1}^\infty e^{-\mathrm{arctg}(n)}</math> |
A lap jelenlegi, 2010. április 26., 21:28-kori változata
1.
a) Invertálható-e és ha igen mik az A-100 sajátértékei, ha
A-100=?
b) Mik az A100 sajátértékei és sajátvektorai, ha
Adjunk meg egy sajátbázisát, igazoljuk, hogy ebben az operátor diagonális. Mo. a) Invertálható, inverze:
A sajátértékegyenlet:
de
azaz ha λ sajátértéke A-nak, akkor λn sajátértéke An-nek. Ez n=-1-re 1/λ sajátértéke A-1-nek, ha λ nem nulla.
A karakterisztikus egyenlet:
azaz a sajátértékek a 2 és a 3. A -100-adiké ezek -100-adik hatványai és több nem lehet, mert a karakterisztikus polinom gyökei csak 2-en lehetnek.
b) Ez egy valódi altérbe képező operátor, mert dim Im A = 1. Espedig a képtér: {(x,2x) | x ∈ R}. A sajátértékei:
0;1. Az 1-hez tartozó sajátaltér: az Im A, a 0-hoz tartozó a Ker A = {(0,y) | y ∈ R}. Sajátbázis: {(0,1),(1,2)}. A bázistrafó:
2.Legyen f és g a (-1,1)×(-1,1) kockán értelmezett
függvény. Folytonosak-e az origóban?
Mo.
Innen sejthető, hogy nem folytonos. Az (x,0) mentén 0, de az (x,x) mentén
- , ha (x,y) (0,0)
Másik:
- , ha (x,y) (0,0)
3. Defferenciálhatóak-e az alábbi függvények a megadott pontban? Mi az (1,2) irányú iránymenti deriváltjuk?
Mo. A köbgyök nem diffható a 0-ban, így külön kell megnézni. A parciálisok:
innen: grad f(0,0)= [0,0]. tehát az iránymenti 0.
Másik.
4.
Mo.
5. Melyik konvergens?
a)
b)
c)
d)
e)