Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 4.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Lineáris helyettesítés) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Homogén fokszámú egyenlet) |
||
25. sor: | 25. sor: | ||
:<math>\frac{1}{|\sin u|}=K_1|x|</math> | :<math>\frac{1}{|\sin u|}=K_1|x|</math> | ||
:<math>1=Kx\sin \frac{y}{x}</math> (K≠0) | :<math>1=Kx\sin \frac{y}{x}</math> (K≠0) | ||
+ | ===Függvényegyütthatós elsőrendű lineáris d.e.=== | ||
+ | :<math> | ||
+ | y'+\frac{2y}{x}=\sin(x^3+1)</math> | ||
+ | |||
+ | '''Mo.''' Homogén megoldása. y=0 konstans megoldás. | ||
+ | :<math>y'=-\frac{2y}{x}</math> | ||
+ | :<math>\frac{dy}{y}=-2\frac{dx}{x}</math> | ||
+ | :<math>\ln|y|=\ln|x|^{-2}+C</math> | ||
+ | Bolzano tétele miatt tetszőleges K valós számmal: | ||
+ | :<math>y=K\frac{1}{x^2}</math> | ||
+ | ami a homogén általános megoldása. | ||
+ | |||
+ | Inhomogén part. keresése | ||
+ | :<math>y(x)=K(x)\frac{1}{x^2}</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | K'(x)\frac{1}{x^2}+K(x)\frac{-2}{x^3}+K(x)\frac{2}{x^3}=\sin(x^3+1)</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | K'(x)=x^2\sin(x^3+1)</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | K'(x)=\frac{1}{3}3x^2\sin(x^3+1)</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | K(x)=-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)</math> | ||
+ | :<math>y=K\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)\frac{1}{x^2}</math> |
A lap 2014. március 17., 22:07-kori változata
Lineáris helyettesítés
Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(0)=0 és b) y(0)=1 kezdeti feltételek mellett!
Mo. u=x+y. Innen u'=1+y':
(Itt az u=0 megoldás, azaz az y=-x megoldás)
A (0,0)-n nem egy megoldás halad át. Megj.: Az (y' + 1)3 − x − y = 0 egyenletnek szinguláris megoldása y=-x. y' szerinti deriváltja: 3(y' + 1)2 = 0, azaz y' = − 1, azaz y=-x mentén sehol sem egyértelmű a megoldás.
Homogén fokszámú egyenlet
Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(π)=0 ill. b) y(2/π)=1 kezdeti feltétel mellett!
Mo. Legyen u = y / x, innen y' = u'x + u
- sinu − ucosu + (u'x + u)cosu = 0
- sinu + u'xcosu = 0
- u'xcosu = − sinu
(itt megjegyzendő, hogy az u=kπ konstansok megoldások, azaz az eredetinek az y=kπx megoldásai)
- − ln | sinu | = ln | x | + C
- (K≠0)
Függvényegyütthatós elsőrendű lineáris d.e.
Mo. Homogén megoldása. y=0 konstans megoldás.
- ln | y | = ln | x | − 2 + C
Bolzano tétele miatt tetszőleges K valós számmal:
ami a homogén általános megoldása.
Inhomogén part. keresése
- K'(x) = x2sin(x3 + 1)