Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 4.

Lineáris helyettesítés

Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(0)=0 és b) y(0)=1 kezdeti feltételek mellett!

$y'=(\sqrt[3]{x+y})-1$

Mo. u=x+y. Innen u'=1+y':

$u'-1=(\sqrt[3]{u})-1$

$u'=(\sqrt[3]{u})$

(Itt az u=0 megoldás, azaz az y=-x megoldás)

$\int\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt[3]{u}}=\int\mathrm{d}x$

$\frac{3}{2}u^{\frac{2}{3}}=x+C$

$\frac{3}{2}(x+y)^{\frac{2}{3}}=x+C$

(A (0,0)-n nem egy megoldás halad át. Megj.: Az (y' + 1)³ − x − y = 0 egyenletnek szinguláris megoldása y=-x. y' szerinti deriváltja: 3(y' + 1)² = 0, azaz y' = − 1, azaz y=-x mentén sehol sem egyértelmű a megoldás.)

Homogén fokszámú egyenlet

Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(π)=0 ill. b) y(2/π)=1 kezdeti feltétel mellett!

$x\sin\frac{y}{x}-y\cos\frac{y}{x}+xy'\cos\frac{y}{x}=0$

Mo. Legyen u = y / x, innen y' = u'x + u

$\sin\frac{y}{x}-\frac{y}{x}\sin\frac{y}{x}+y'\cos\frac{y}{x}=0$

sinu − ucosu + (u'x + u)cosu = 0

sinu + u'xcosu = 0

u'xcosu = − sinu

(itt megjegyzendő, hogy az u=kπ konstansok megoldások, azaz az eredetinek az y=kπx megoldásai)

$\int-\frac{\cos u}{\sin u}\mathrm{d}u =\int\frac{\mathrm{d}x}{x}$

− ln | sinu | = ln | x | + C

$\frac{1}{|\sin u|}=K_1|x|$

$1=Kx\sin \frac{y}{x}$ (K≠0)

Függvényegyütthatós elsőrendű lineáris d.e.

$y'+\frac{2y}{x}=\sin(x^3+1)$

Mo. Homogén megoldása. y=0 konstans megoldás.

$y'=-\frac{2y}{x}$

$\frac{dy}{y}=-2\frac{dx}{x}$

ln | y | = ln | x | ^{− 2} + C

Bolzano tétele miatt tetszőleges K valós számmal:

$y=K\frac{1}{x^2}$

ami a homogén általános megoldása.

Inhomogén part. keresése

$y(x)=K(x)\frac{1}{x^2}$

$K'(x)\frac{1}{x^2}+K(x)\frac{-2}{x^3}+K(x)\frac{2}{x^3}=\sin(x^3+1)$

K'(x) = x²sin(x³ + 1)

$K'(x)=\frac{1}{3}3x^2\sin(x^3+1)$

$K(x)=-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)$

$y=K\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)\frac{1}{x^2}$

Egzaktra visszavezethető

x>0 esetén oldjuk meg az alábbi egyenletet!

(x² + y² + x)dx + xydy = 0, (xyy' = − x² − y² − x)

Mo. P = x² + y² + x, Q = xy, $\partial_y P=2y$, $\partial_yQ=y$ azaz nem egzakt, de

$\frac{\partial_y P-\partial_yQ}{Q}=\frac{2y-y}{xy}=\frac{1}{x}=R(x)$, $\mu(x)=e^{\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x}=x$

Másodrendű kezdetiértékfeladat Laplace-szal

y'' + y' − 2y = − 4t − 4, y(0) = 4, y'(0) = 0

Mo.

$s^2Y-4s+sY-4-2Y=\frac{-4}{s^2}-\frac{4}{s}$

$(s^2+s-2)Y-4s-4=\frac{-4-4s}{s^2}$

$(s-1)(s+2)Y=4(1+s)\frac{s-1}{s^2}$

$Y=\frac{4(1+s)}{s^2(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s+2}=\frac{As(s+2)+B(s+2)+Cs^2}{s^2(s+2)}$

s=0 esetén 2B=4, B=2. s=-2: 4C=-4 azaz C=-1. s=-1 esetén -A+2-1=0, azaz A=-1

$Y=\frac{-1}{s}+\frac{2}{s^2}+\frac{-1}{s+2}$

Inhomogén lineáris d. egyenletrendszer

$\dot{x_1}=2x_1+3x_2+e^t$

$\dot{x_2}=3x_1+2x_2$

Mo. Homogén:

$\dot{x_1}=2x_1+3x_2$

$\dot{x_2}=3x_1+2x_2$

$\begin{pmatrix}2 & 3\\3 & 2\end{pmatrix}$ karakterisztikus polinomjának megoldásai: λ = − 1;5

Sajátvektorai rendre: (1,-1), (1,1) ezekből a megoldás. Innen

$\Psi(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}$

és

$x_H(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}=\Psi(t)\cdot\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}$

Inhomogén:

$\Psi(t)\cdot c'(t)=\begin{pmatrix}e^{t}\\0\end{pmatrix}$

Gauss--Jordan-nal:

$\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\-e^{-t} & e^{5t}& 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & 2e^{5t}& e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}& e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}e^{-t} & 0 & \frac{1}{2}e^{t}\\0 & e^{5t}& \frac{1}{2}e^{t}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{1}{2}e^{2t}\\0 & 1& \frac{1}{2}e^{-4t}\end{pmatrix}$

$c(t)=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}$

$x_P(t)=\Psi(t)\cdot c(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & e^{5t}\\-e^{-t} & e^{5t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{4}e^{2t}\\ -\frac{1}{8}e^{-4t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}$

$x(t)=c_1\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}e^{5t}\\e^{5t}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{8}e^{t}\\ -\frac{3}{8}e^{t}\end{pmatrix}$

Próbafüggvény módszer

j.o. = e^ax(p(x)cos(bx) + q(x)sin(bx))

akkor a próbafüggvény:

y(x) = x^me^ax(P(x)cos(bx) + Q(x)sin(bx)),

ahol m az a+bi szám multiplicitásának foka a karakterisztikus polinomban és P(x) és Q(x) olyan polinomok, melyeknek foka = max{deg p,deg q}. Pl.:

y'' + 4y' + 4 = xsinx

Mo. Itt a=0, b=1, de az i szám nem gyöke a kar. pol.-nak. Próbafüggvény:

y = (Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx

y' = Acosx − (Ax + B)sinx + Csinx + (Cx + D)cosx = (A + D)cosx + (C − B)sinx − Axsinx...

y'' = − Asinx − Asinx − (Ax + B)cosx + Ccosx + Ccosx − (Cx + D)sinx