Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 4.

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2014. március 17., 21:24-kori változata

Oldja meg az alábbi egyenletet az y(1)=0 kezdeti feltétel mellett!

$x\sin\frac{y}{x}-y\cos\frac{y}{x}+xy'\cos\frac{y}{x}=0$

Mo. Legyen $u = y / x$ , innen $y' = u' x + u$

$\sin\frac{y}{x}-\frac{y}{x}\sin\frac{y}{x}+y'\cos\frac{y}{x}=0$

sin u - u cos u + (u' x + u)cos u = 0

sin u + u' x c o s u = 0

$u'x =-\frac{\sin u}{\cos u}$

$\int-\frac{\cos u}{\sin u}\mathrm{d}u =\int\frac{\mathrm{d}x}{x}$

@@ 3. sor: / 3. sor: @@
 ==Homogén fokszámú egyenlet==
 Oldja meg az alábbi egyenletet az y(1)=0 kezdeti feltétel mellett!
-:<math>x\sin\frac{y}{x}-y\sin\frac{y}{x}+xy'\cos\frac{y}{x}=0</math>
+:<math>x\sin\frac{y}{x}-y\cos\frac{y}{x}+xy'\cos\frac{y}{x}=0</math>
 '''Mo.''' Legyen <math>u=y/x</math>, innen <math>y'=u'x+u</math>
 :<math>\sin\frac{y}{x}-\frac{y}{x}\sin\frac{y}{x}+y'\cos\frac{y}{x}=0</math>
-:<math>\sin u-u\sinu+(u'x+u)\cos u=0</math>
+:<math>\sin u-u\cos u+(u'x+u)\cos u=0</math>
+:<math>\sin u+u'x cos u=0</math>
+:<math>u'x =-\frac{\sin u}{\cos u}</math>
+:<math>\int-\frac{\cos u}{\sin u}\mathrm{d}u =\int\frac{\mathrm{d}x}{x}</math>