Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 4.

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2014. március 17., 21:54-kori változata

Oldja meg az alábbi egyenletet az y(0)=1 kezdeti feltétel mellett!

$y'=(\sqrt[3]{x+y})-1$

Mo. u=x+y. Innen u'=1+y':

$u'-1=(\sqrt[3]{u})-1$

$u'=(\sqrt[3]{u})$

$\int\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt[3]{u}}=\int\mathrm{d}x$

Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(π)=0 ill. b) y(2/π)=1 kezdeti feltétel mellett!

$x\sin\frac{y}{x}-y\cos\frac{y}{x}+xy'\cos\frac{y}{x}=0$

Mo. Legyen $u = y / x$ , innen $y' = u' x + u$

$\sin\frac{y}{x}-\frac{y}{x}\sin\frac{y}{x}+y'\cos\frac{y}{x}=0$

sin u - u cos u + (u' x + u)cos u = 0

sin u + u' x c o s u = 0

u' x cos u = - sin u

(itt megjegyzendő, hogy az u=kπ konstansok megoldások, azaz az eredetinek az y=kπx megoldásai)

$\int-\frac{\cos u}{\sin u}\mathrm{d}u =\int\frac{\mathrm{d}x}{x}$

- ln | sin u | = ln | x | + C

$\frac{1}{|\sin u|}=K_1|x|$

$1=Kx\sin \frac{y}{x}$ (K≠0)

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 ==Lineáris helyettesítés==
-Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(0)=0 és a b) y(0)=1 kezdeti feltételek mellett!
+Oldja meg az alábbi egyenletet az y(0)=1 kezdeti feltétel mellett!
-:<math>y'=\sqrt[3]{x+y}</math>
+:<math>y'=(\sqrt[3]{x+y})-1</math>
-'''Mo.'''
+'''Mo.''' u=x+y. Innen u'=1+y':
+:<math>u'-1=(\sqrt[3]{u})-1</math>
+:<math>u'=(\sqrt[3]{u})</math>
+:<math>\int\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt[3]{u}}=\int\mathrm{d}x</math>
 ==Homogén fokszámú egyenlet==