Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 4.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egzaktra visszavezethető) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egzaktra visszavezethető) |
||
49. sor: | 49. sor: | ||
:<math>y=K\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)\frac{1}{x^2}</math> | :<math>y=K\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)\frac{1}{x^2}</math> | ||
==Egzaktra visszavezethető== | ==Egzaktra visszavezethető== | ||
+ | x>0 esetén oldjuk meg az alábbi egyenletet! | ||
:<math>(x^2+y^2+x)dx+xydy=0</math>, <math>(xyy'=-x^2-y^2-x)</math> | :<math>(x^2+y^2+x)dx+xydy=0</math>, <math>(xyy'=-x^2-y^2-x)</math> | ||
'''Mo.''' <math>P=x^2+y^2+x</math>, <math>Q=xy</math>, <math>\partial_y P=2y</math>, <math>\partial_yQ=y</math> azaz nem egzakt, de | '''Mo.''' <math>P=x^2+y^2+x</math>, <math>Q=xy</math>, <math>\partial_y P=2y</math>, <math>\partial_yQ=y</math> azaz nem egzakt, de | ||
− | :<math>\frac{\partial_y P-\partial_yQ}{Q}\frac{2y-y}{xy}=\frac{1}{x}=R(x)</math> | + | :<math>\frac{\partial_y P-\partial_yQ}{Q}=\frac{2y-y}{xy}=\frac{1}{x}=R(x)</math>, <math>\mu(x)=e^{\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x}=x</math> |
A lap 2014. március 17., 22:18-kori változata
Tartalomjegyzék |
Lineáris helyettesítés
Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(0)=0 és b) y(0)=1 kezdeti feltételek mellett!
Mo. u=x+y. Innen u'=1+y':
(Itt az u=0 megoldás, azaz az y=-x megoldás)
A (0,0)-n nem egy megoldás halad át. Megj.: Az (y' + 1)3 − x − y = 0 egyenletnek szinguláris megoldása y=-x. y' szerinti deriváltja: 3(y' + 1)2 = 0, azaz y' = − 1, azaz y=-x mentén sehol sem egyértelmű a megoldás.
Homogén fokszámú egyenlet
Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(π)=0 ill. b) y(2/π)=1 kezdeti feltétel mellett!
Mo. Legyen u = y / x, innen y' = u'x + u
- sinu − ucosu + (u'x + u)cosu = 0
- sinu + u'xcosu = 0
- u'xcosu = − sinu
(itt megjegyzendő, hogy az u=kπ konstansok megoldások, azaz az eredetinek az y=kπx megoldásai)
- − ln | sinu | = ln | x | + C
- (K≠0)
Függvényegyütthatós elsőrendű lineáris d.e.
Mo. Homogén megoldása. y=0 konstans megoldás.
- ln | y | = ln | x | − 2 + C
Bolzano tétele miatt tetszőleges K valós számmal:
ami a homogén általános megoldása.
Inhomogén part. keresése
- K'(x) = x2sin(x3 + 1)
Egzaktra visszavezethető
x>0 esetén oldjuk meg az alábbi egyenletet!
- (x2 + y2 + x)dx + xydy = 0, (xyy' = − x2 − y2 − x)
Mo. P = x2 + y2 + x, Q = xy, , azaz nem egzakt, de
- ,