Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 4.

Homogén fokszámú egyenlet

Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(π)=0 ill. b) y(π)=1 kezdeti feltétel mellett!

$x\sin\frac{y}{x}-y\cos\frac{y}{x}+xy'\cos\frac{y}{x}=0$

Mo. Legyen u = y / x, innen y' = u'x + u

$\sin\frac{y}{x}-\frac{y}{x}\sin\frac{y}{x}+y'\cos\frac{y}{x}=0$

sinu − ucosu + (u'x + u)cosu = 0

sinu + u'xcosu = 0

$u'x =-\frac{\sin u}{\cos u}$

$\int-\frac{\cos u}{\sin u}\mathrm{d}u =\int\frac{\mathrm{d}x}{x}$

− ln | sinu | = ln | x | + C

$\frac{1}{|\sin u|}=K_1|x|$

$1=Kx\sin \frac{y}{x}$