Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 4.

Lineáris helyettesítés

Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(0)=0 és b) y(0)=1 kezdeti feltételek mellett!

$y'=(\sqrt[3]{x+y})-1$

Mo. u=x+y. Innen u'=1+y':

$u'-1=(\sqrt[3]{u})-1$

$u'=(\sqrt[3]{u})$

(Itt az u=0 megoldás, azaz az y=-x megoldás)

$\int\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt[3]{u}}=\int\mathrm{d}x$

$\frac{3}{2}u^{\frac{2}{3}}=x+C$

$\frac{3}{2}(x+y)^{\frac{2}{3}}=x+C$

A (0,0)-n nem egy megoldás halad át. Megj.: Az (y' + 1)³ − x − y = 0 egyenletnek szinguláris megoldása y=-x. y' szerinti deriváltja: 3(y' + 1)² = 0, azaz y' = − 1, azaz y=-x mentén sehol sem egyértelmű a megoldás.

Homogén fokszámú egyenlet

Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(π)=0 ill. b) y(2/π)=1 kezdeti feltétel mellett!

$x\sin\frac{y}{x}-y\cos\frac{y}{x}+xy'\cos\frac{y}{x}=0$

Mo. Legyen u = y / x, innen y' = u'x + u

$\sin\frac{y}{x}-\frac{y}{x}\sin\frac{y}{x}+y'\cos\frac{y}{x}=0$

sinu − ucosu + (u'x + u)cosu = 0

sinu + u'xcosu = 0

u'xcosu = − sinu

(itt megjegyzendő, hogy az u=kπ konstansok megoldások, azaz az eredetinek az y=kπx megoldásai)

$\int-\frac{\cos u}{\sin u}\mathrm{d}u =\int\frac{\mathrm{d}x}{x}$

− ln | sinu | = ln | x | + C

$\frac{1}{|\sin u|}=K_1|x|$

$1=Kx\sin \frac{y}{x}$ (K≠0)