Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonosság, határérték) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Vonalintegrál) |
||
(egy szerkesztő 63 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
u'x+u=\frac{1}{u}+2u</math> | u'x+u=\frac{1}{u}+2u</math> | ||
:<math> | :<math> | ||
− | u'x=\frac{1+ | + | u'x=\frac{1+u^2}{u}</math> |
:<math> | :<math> | ||
− | \int\frac{u}{1+ | + | \int\frac{u}{1+u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x</math> |
:<math> | :<math> | ||
− | \frac{1}{2}\int\frac{2u}{1+ | + | \frac{1}{2}\int\frac{2u}{1+u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x</math> |
:<math> | :<math> | ||
− | \frac{1}{2}\ln|1+ | + | \frac{1}{2}\ln|1+u^2|=\ln|x|+C</math>; <math>(C\in\mathbf{R})</math> |
:<math> | :<math> | ||
− | \ln |1+ | + | \ln |1+u^2|=\ln c_1^2x^2\,</math>; <math>(c_1=\ln C\,)</math> |
:<math> | :<math> | ||
− | 1+ | + | 1+u^2=cx^2\,</math>; <math>\qquad(c>0)\,</math> |
Implicit mo.: | Implicit mo.: | ||
− | :<math>1+ | + | :<math>1+\frac{y^2}{x^2}=cx^2\,</math> |
Explicit mo.: | Explicit mo.: | ||
:<math> | :<math> | ||
− | y=x\cdot\left(\pm\sqrt | + | y=x\cdot\left(\pm\sqrt{c}\sqrt{x^2-\frac{1}{c}}\right)</math> |
:Itt <math>|x|>\frac{1}{\sqrt{c}}</math> | :Itt <math>|x|>\frac{1}{\sqrt{c}}</math> | ||
'''2.''' <math>x^2y'=xy+y^2\,</math> | '''2.''' <math>x^2y'=xy+y^2\,</math> | ||
55. sor: | 55. sor: | ||
Explicit mo.: | Explicit mo.: | ||
:<math>y=\frac{cx^2}{1+cx}\,</math>; <math>(c\in\mathbf{R})</math> | :<math>y=\frac{cx^2}{1+cx}\,</math>; <math>(c\in\mathbf{R})</math> | ||
+ | |||
===Kezdetiérték feladat=== | ===Kezdetiérték feladat=== | ||
'''1.''' <math>y'=e^{x-y}\,</math>; (''y(-1)=0'') | '''1.''' <math>y'=e^{x-y}\,</math>; (''y(-1)=0'') | ||
80. sor: | 81. sor: | ||
:<math>y=\pm\sqrt[6]{6e^{x^2}+6C}\,</math>; (<math>C\in\mathbf{R}</math>) | :<math>y=\pm\sqrt[6]{6e^{x^2}+6C}\,</math>; (<math>C\in\mathbf{R}</math>) | ||
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba: | Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba: | ||
− | :<math> | + | :<math>\frac{1}{6}=1+C\,</math> |
− | :<math>C= | + | :<math>C=\frac{1}{6}-1=-\frac{5}{6}\,</math> |
A kezdeti feltételt kielégítő mo.: | A kezdeti feltételt kielégítő mo.: | ||
− | :<math>y=-\sqrt[6]{6e^{x^2}- | + | :<math>y=-\sqrt[6]{6e^{x^2}-5}\,</math> |
+ | |||
===Egzaktra visszavezethető=== | ===Egzaktra visszavezethető=== | ||
+ | :<math>P(x,y)+Q(x,y)y'=0,\qquad ?=y\in\mathrm{C}^1(I,J)\qquad P,Q\in\mathrm{C}^1(I\times J,\mathbf{R})</math> | ||
+ | :<math>(Pdx+Qdy=0)\,</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\mu(x)=e^{\int R(x)dx},\qquad R(x)=\frac{\partial_yP-\partial_x Q}{Q}</math> | ||
+ | :<math>\mu(y)=e^{-\int S(y)dy},\qquad S(y)=\frac{\partial_yP-\partial_x Q}{P}</math> | ||
+ | |||
+ | Majd <math>?=F\in\mathrm{C}^1(I\times J, \mathbf{R})</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{cases}\partial_x F=\mu P\,\\\partial_y F=\mu Q\,\end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
'''1.''' <math>\frac{1}{x^4}-3y^2=xyy'\,</math> | '''1.''' <math>\frac{1}{x^4}-3y^2=xyy'\,</math> | ||
123. sor: | 137. sor: | ||
És az implicit általános megoldás: | És az implicit általános megoldás: | ||
:<math>xe^{y}-y=C\,</math>; (<math>C\in\mathbf{R}</math>) | :<math>xe^{y}-y=C\,</math>; (<math>C\in\mathbf{R}</math>) | ||
+ | |||
===Lineáris argumentumú egyenlet=== | ===Lineáris argumentumú egyenlet=== | ||
'''1.''' <math>y'=(4x-y)^2\,</math> | '''1.''' <math>y'=(4x-y)^2\,</math> | ||
149. sor: | 164. sor: | ||
===Függvényegyütthatós lineáris egyenlet=== | ===Függvényegyütthatós lineáris egyenlet=== | ||
+ | |||
+ | :<math>y'+f(x)y=g(x)\qquad ?=y\in \mathrm{C}^1(I)\qquad f,g\in \mathrm{C}(I) | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
'''1.''' <math>y'-\frac{3}{x}y=\frac{1}{\cos^2\left(\frac{1}{x^2}\right)}</math> | '''1.''' <math>y'-\frac{3}{x}y=\frac{1}{\cos^2\left(\frac{1}{x^2}\right)}</math> | ||
180. sor: | 201. sor: | ||
így az általános mo.: | így az általános mo.: | ||
:<math>y=ce^{-3(x+x\ln x)}+\frac{1}{3}</math> | :<math>y=ce^{-3(x+x\ln x)}+\frac{1}{3}</math> | ||
+ | |||
===Laplace-transzformációval megoldható feladatok=== | ===Laplace-transzformációval megoldható feladatok=== | ||
: <math>\mathcal{L}\{f(t) + g(t)\} = \mathcal{L}\{f(t)\} + \mathcal{L}\{ g(t)\} </math> | : <math>\mathcal{L}\{f(t) + g(t)\} = \mathcal{L}\{f(t)\} + \mathcal{L}\{ g(t)\} </math> | ||
240. sor: | 262. sor: | ||
:<math>\,\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta</math>, akkor <math>y_H=C_1e^{\alpha x}\cos{\beta x}+C_2e^{\alpha x}\sin{\beta x}\,</math> | :<math>\,\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta</math>, akkor <math>y_H=C_1e^{\alpha x}\cos{\beta x}+C_2e^{\alpha x}\sin{\beta x}\,</math> | ||
− | Inhomogén partikuláris alakja | + | Inhomogén partikuláris alakja rezonanciák nélkül, spéci esetekben: |
:<math>y''+ay'+by=f(x)\,</math>, és | :<math>y''+ay'+by=f(x)\,</math>, és | ||
283. sor: | 305. sor: | ||
''Mo. vázlat.'' <math>\lambda^2-4\lambda+4=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=2\,</math>. Innen | ''Mo. vázlat.'' <math>\lambda^2-4\lambda+4=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=2\,</math>. Innen | ||
− | :<math>y_H(x)=C_1e^{2x}+ | + | :<math>y_H(x)=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}\,</math> |
Mivel | Mivel | ||
:<math>f(x)=e^{2x}\,</math> | :<math>f(x)=e^{2x}\,</math> | ||
299. sor: | 321. sor: | ||
:<math>y_p(x)=x(Ax+B)e^{x}\,</math> | :<math>y_p(x)=x(Ax+B)e^{x}\,</math> | ||
alakban keresendő. | alakban keresendő. | ||
+ | |||
==Komplex függvénytan== | ==Komplex függvénytan== | ||
===Folytonosság, határérték=== | ===Folytonosság, határérték=== | ||
304. sor: | 327. sor: | ||
: <math>f(z)=\begin{cases}\frac{z^2-iz+2}{z^2+4}& z\ne\pm 2i\\\frac{3}{4}, & z=\pm 2i\end{cases}</math> | : <math>f(z)=\begin{cases}\frac{z^2-iz+2}{z^2+4}& z\ne\pm 2i\\\frac{3}{4}, & z=\pm 2i\end{cases}</math> | ||
− | ''Mo.'' <math>z=2i</math>-ben a függvény 0/0 alakú, ami határozatlan alak, de alakalmazható a L'Hospital szabály: | + | ''Mo.'' A <math>\pm2i</math> pontokon kívül a függvény folytonos függvények felhasználásával van definiálva a folytonosságot megőrző módokon, ezért <math>\pm2i</math>-n kívül folytonos. <math>z=2i</math>-ben a függvény 0/0 alakú, ami határozatlan alak, de alakalmazható a L'Hospital szabály: |
: <math>\lim\limits_{z\to 2i}\frac{z^2-iz+2}{z^2+4}=\lim\limits_{z\to 2i}\frac{2z-i}{2z}=\left.\frac{2z-i}{2z}\right|_{z=2i}=\frac{3}{4}</math> | : <math>\lim\limits_{z\to 2i}\frac{z^2-iz+2}{z^2+4}=\lim\limits_{z\to 2i}\frac{2z-i}{2z}=\left.\frac{2z-i}{2z}\right|_{z=2i}=\frac{3}{4}</math> | ||
tehát a határérték létezik és a helyettesítési értékkel egyenlő, azaz 2i-ben a függvény folytonos. | tehát a határérték létezik és a helyettesítési értékkel egyenlő, azaz 2i-ben a függvény folytonos. | ||
312. sor: | 335. sor: | ||
'''2.''' Hol létezik véges határértéke az alábbi függvényeknek? | '''2.''' Hol létezik véges határértéke az alábbi függvényeknek? | ||
− | :<math>f(z)=\frac{\mathrm{Im}^3(z)+i\mathrm{Re}^2(z)}{z\overline{z}}</math> | + | :'''a''') <math>f(z)=\frac{\mathrm{Im}^3(z)+i\mathrm{Re}^2(z)}{z\overline{z}}</math> |
− | :<math>g(z)=\frac{z}{\mathrm{Re}(z)}</math> | + | :'''b''') <math>g(z)=\frac{z}{\mathrm{Re}(z)}</math> |
+ | |||
+ | |||
+ | ''Mo.'' a) Legyen <math>z=x+iy</math>. Mivel <math>z\overline{z}=x^2+y^2</math>, ezért f csak a 0-ban nincs értelmezve. Itt valós és képzetes részre bontva: | ||
+ | :<math>\frac{\mathrm{Im}^3(z)+i\mathrm{Re}^2(z)}{z\overline{z}}\equiv\left(\frac{y^3}{x^2+y^2},\frac{x^2}{x^2+y^2}\right)</math> | ||
+ | A sejtés, hogy a valós komponensnek van, a képzetesnek nincs határtéráke. Ezért érdemes csak a képzetest megvizsgálni, mert pontosan akkor létezik a határérték, ha mindkét komponensnek létezik. | ||
+ | :<math>y\equiv 0\,</math> irányból <math>\left.\frac{x^2}{x^2+y^2}\right|_{y=0}=\frac{x^2}{x^2}\equiv 1</math> | ||
+ | :<math>x\equiv 0\,</math> irányból <math>\left.\frac{x^2}{x^2+y^2}\right|_{x=0}\equiv 0</math> | ||
+ | azaz a határérték nem létezhet a 0-ban. (Amúgy a valós rész határértéke létezik és 0, ugyanis rendőrelvvel: | ||
+ | :<math>\left|\frac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\frac{y^2}{y^2}=|y|\to_{(x,y)\to (0,0)}0</math>) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | b) | ||
+ | :<math>g(z)\equiv(u,v)=\left(1,\frac{y}{x}\right)</math> | ||
+ | Nincs értelmezve az x=0 pontokban, azaz az y tengely pontjaiban. Nemnulla <math>y_0</math> esetén a <math>(0,y_0)</math> ponthoz az (x,y_0) mentén tartva <math>y_0/x</math>-nek végtelen a határértéke, tehát ott nem létezik. Ha <math>y_0</math> nulla, akkor az (x,0) mentén y/x=0, az (x,x) mentén y/x=1, azaz az origóban sincs határértéke. De mindehol máshol van, mert a határérték invariáns az alapműveletekre. | ||
+ | |||
+ | ===Deriválhatóság=== | ||
+ | '''1.''' Hol deriválható komplex módon és hol reguláris az alábbi függvény? | ||
+ | :'''a''') <math>f(z)=\overline{z}|z|^2\,</math> | ||
+ | :'''b''')** <math>g(z)=x^2-y^2+2|xy|i\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ''Mo.'' a) Legyen <math>z=x+iy</math>. | ||
+ | :<math>f(z)\equiv(u(x,y),v(x,y))=\left(x^3+xy^2,-x^2y-y^3\right)</math> | ||
+ | :<math>\begin{bmatrix}\partial_xu & \partial_yu\\\partial_xv & \partial_yv\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3x^2+y^2 & 2xy\\-2xy & -x^2-3y^2\end{bmatrix}</math> | ||
+ | Ezek a parciális deriváltak mindenhol folytonosak, azaz az (u,v) pár totálisan deriválható mindenhol. | ||
+ | Innen a Cauchy--Riemann-egyenletek: | ||
+ | :<math>3x^2+y^2=-x^2-3y^2\,</math> | ||
+ | :<math>2xy=2xy\,</math> | ||
+ | Mivel az első, azaz <math>3x^2+y^2+x^2+3y^2=0\,</math> csak a 0-ban teljesül, a második pedig mindenhol, ezért a függvény pontosan a 0-ban deriválható. Ebből az is következik, hogy nincs olyan nyílt környezet, ahol minden pontban deriválható le. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | b) <math>u=x^2-y^2</math>, <math>v=2|xy|</math>. Vegyük észre, hogy amikor 2|xy|=2xy egy egész nyílt környezetben, akkor g(z)=z^2, azaz ezekben az esetekben reguláris a függvény. Ez az xy>0 esetében van. Tehát csak a tengelyeken kell megvizsgálni. |xy| az origón kívül a tengelyeken parciálisan nem deriválható. Az origóban viszont CR is fennáll és totálisan is deriválhatóak a komponensek | ||
+ | tehát ott deriválható. | ||
+ | :<math> | ||
+ | \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq\frac{|xy|}{|x|}=|y|\to_{(x,y)\to (0,0)}0</math> | ||
+ | |||
+ | A síknegyedeken belül tehát reguláris. | ||
+ | |||
+ | '''2.''' Hol deriválható komplex módon és hol reguláris az alábbi függvény? | ||
+ | :'''a''')* <math>f(z)=\sin(z)|z|\,</math> | ||
+ | :'''b''') <math>g(z)=y^2+x^3i\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ''Mo.'' a) HF CR-egyenletekkel igazolni, hogy |z| sehol se deriválató. Azt tudjuk, hogy sin(z) mindenütt deriválható. <math>\sin(z)=0</math> pontosan akkor, ha <math>z=k\pi</math> (HF). Ezért <math>z\ne k\pi</math> esetén, ha <math>f(z)</math> deriválható lenne, akkor | ||
+ | :<math>\frac{f(z)}{\sin z}=\frac{1}{\sin z}\sin (z)|z|=|z|</math> | ||
+ | is deriválható lenne, ami tehát lehetetlen. Már csak a <math>z= k\pi</math> pontokban kell megvizsgálni, amit definíció szerint teszünk. A különbségi hányados függvény az deriválás helyén 0/0 alakú, ezért az első tényezőre alkalmazhatjuk a L'Hospital szabályt: | ||
+ | :<math>f'(k\pi)=\lim\limits_{z\to k\pi}\frac{\sin (z)|z|}{z-k\pi}=\lim\limits_{z\to k\pi}\frac{\sin (z)}{z-k\pi}\cdot\lim\limits_{z\to k\pi}|z|=\lim\limits_{z\to k\pi}\frac{\cos (z)}{1}|k\pi|=\cos(k\pi)|k\pi|\,</math> | ||
+ | ami létezik, tehát minden <math>k\pi</math> pontban deriválható a függvény, de máshol nem, így sehol sem reguláris. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | b) | ||
+ | :<math>\begin{bmatrix}\partial_xu & \partial_yu\\\partial_xv & \partial_yv\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 2y\\ 3x^2 & 0\end{bmatrix}</math> | ||
+ | Ezek a parciális deriváltak mindenhol folytonosak, azaz az (u,v) pár totálisan deriválható mindenhol. | ||
+ | Innen a Cauchy--Riemann-egyenletek: | ||
+ | :<math>0=0\,</math> | ||
+ | :<math>2y=-3x^2\,</math> | ||
+ | Azaz a függvény az | ||
+ | :<math>y=-\frac{3}{2}x^2\,</math> | ||
+ | parabola mentén komplex deriválható, de sehol se reguláris, mert nincs olyan nyílt környzete, melyben mindenütt deriválható lenne. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''3.''' (Harmonikustárs-keresés) | ||
+ | |||
+ | :<math>\partial_x^2u+\partial_y^2u\equiv 0</math>, | ||
+ | akkor <math>u\in\mathbf{C}^2(U)</math> harmonikus az <math>U\subseteq\mathbf{R}^2</math> nyílton. Ha f=u+iv reguláris az U tartományon, akkor u és v harmonikus. Ha u harmonikus, az U tartományon, akkor létezik U-n v harmonikus, hogy f=u+iv reguláris. Ekkor v az u-nak egy harmonikus társa (és u az v-nek). Ha f=u+iv reguláris, akkor u,v-re teljesülnek a CR-egyenletek. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Ha létezik, akkor adjuk meg az | ||
+ | :<math>u(x,y)=x^2+xy-y^2\,</math> | ||
+ | függvény harmonikus társát! | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>\partial_x^2u+\partial_y^2u=2-2\equiv 0</math> | ||
+ | |||
+ | tehát létezik harmonikus társa és ezt megtaláljuk az alábbiakból: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{cases}\partial_xv=-\partial_yu\\\partial_yv=\partial_xu\end{cases},\qquad\begin{cases}\partial_xv=-x+2y\to &v=-\frac{x^2}{2}+2xy+C_1(y)\\\partial_yv=2x+y\to& v=2xy+\frac{y^2}{2}+C_2(x)\end{cases}</math> | ||
+ | Tehát | ||
+ | :<math>v(x,y)=2xy-\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}\,</math> | ||
+ | (Hát persze, hiszen <math>u=Re((1+i/2)z^2)</math>) | ||
+ | ===Elemi függvények=== | ||
+ | |||
+ | :<math>e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi</math> | ||
+ | :<math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} | ||
+ | </math> | ||
+ | :<math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} | ||
+ | </math> | ||
+ | :<math>\mathrm{sh} z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{ch}\, z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}</math> | ||
+ | :<math>\ln re^{i\varphi}=\ln r + i\varphi +2\pi i k</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''1.''' Számítsa ki az | ||
+ | :<math>f(z)=\sin(iz)\,</math> | ||
+ | függvény valós és képzetes részét! | ||
+ | |||
+ | ''MO.'' <math>z=x+iy</math> | ||
+ | |||
+ | '''2.''' Oldja meg a | ||
+ | :<math> | ||
+ | e^{iz}=2i-2\,</math> | ||
+ | egyenletet! | ||
+ | |||
+ | ''MO.'' | ||
+ | :<math>e^{iz}=2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\,</math> | ||
+ | :<math>e^{iz}=e^{\ln 2\sqrt{2}}e^{-i\frac{\pi}{4}}\,</math> | ||
+ | :<math>e^{iz}=e^{\ln (2\sqrt{2})-i\frac{\pi}{4}}\,</math> | ||
+ | mivel exp 2πi szerint periodikus, ezért: | ||
+ | :<math>iz=\ln (2\sqrt{2})-i\frac{\pi}{4}+2\pi i k\,</math> | ||
+ | :<math>z=-i\ln (2\sqrt{2})-\frac{\pi}{4}+2\pi k\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''3. ''' Adja meg az | ||
+ | :<math>(1+i)^i\, | ||
+ | </math> | ||
+ | szám értékét! | ||
+ | |||
+ | ''MO.'' | ||
+ | |||
+ | :<math>(1+i)^i=e^{i\ln (1+i)}=e^{i(\ln(\sqrt{2})+i\frac{\pi}{4}+2\pi ik)}=e^{i\ln(\sqrt{2})-\frac{\pi}{4}-2\pi k}=e^{i\ln(\sqrt{2})}e^{-\frac{\pi}{4}-2\pi k}=(\cos\ln\sqrt{2}+i\sin\ln\sqrt{2})e^{-\frac{\pi}{4}-2\pi k}</math> | ||
+ | |||
+ | ===Sorok=== | ||
+ | |||
+ | Taylor-sor: | ||
+ | :<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{Dom}\, f=\mathrm{B}_R(z_0)</math> valamely ''R''-rel. | ||
+ | |||
+ | Laurent-sor: | ||
+ | :<math>f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_{n}(z-z_0)^n</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{Dom}\, f=\mathrm{int}(\mathrm{B}_{R_1}(z_0)\cap(\mathbf{C}\setminus\mathrm{B}_{R_2}(z_0)))</math> valamely ''R<sub>1</sub>'', ''R<sub>2</sub>''-vel. | ||
+ | |||
+ | Az f függvénynek a <math>\zeta</math> pont izolált szingularitása, ha f reguláris a <math>\zeta</math> egy kipontozott környezetében, de nem reguláris <math>\zeta</math>-ban. Izolált szingularitás körül a függvény Laurent-sor mindig lézezik ezért a sor alakja szerint osztályozzuk a szingularitásokat. | ||
+ | |||
+ | Megszüntethető, ha L.-sorban nincsenek reciprokos tagok. Ilyenkor a függvény regulárissá tehető, melynek Taylor-sora pont a Laurent-sora. | ||
+ | |||
+ | Pólusszingularitása van f-nek a <math>\zeta</math> pontban, ha a <math>\zeta</math> körüli Laurent-sor főrészében <math>1/(z-\zeta)</math>-nak véges sok nemnulla hatványa szerepel. Ezek körzül a <math>1/(z-\zeta)</math> legnagyobb kitevőjű hatványának kitevője a pólusszingularitás foka. | ||
+ | |||
+ | Lényeges szingularitása van f-nek <math>\zeta</math>-ban, ha a <math>\zeta</math> körüli Laurent-sorban <math>1/(z-\zeta)</math>-nak végtelen sok nemnulla hatványa szerepel. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}</math>, ha <math>|q|<1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<math>e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}+\dots</math> | ||
+ | :<math>\sin z=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}\pm\dots</math> | ||
+ | :<math>\cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^5}{5!}\pm\dots</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{sh}\, z=z+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\frac{z^7}{7!}+\dots</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{ch}\, z=1+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}+\dots</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''1.''' Igazolja, hogy az | ||
+ | :<math> | ||
+ | f(z)=\frac{\sin(z) -z}{z^3}\,</math> | ||
+ | függvénynek megszüntethető szakadása van a 0-ban! Adja meg a reguláris kiterjesztés 100. deriváltját a 0-ban! | ||
+ | |||
+ | ''MO.'' | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{\sin(z) -z}{z^3}=\frac{-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}\pm\dots}{z^3}=-\frac{1}{3!}+\frac{z^2}{5!}-\frac{z^4}{7!}\pm\dots</math> | ||
+ | Mivel a sorfejtés egyértelmű, ezért a <math>z^{100}</math> tag együtthatója egyértelmű, azaz egyfelől a Taylor-sorból felírva, másfelől a most megadott sorfejtésből: | ||
+ | :<math>\frac{f^{(100)}(0)}{100!}=-\frac{1}{103!}</math> | ||
+ | :<math>f^{(100)}(0)=-\frac{100!}{103!}=-\frac{1}{101\cdot 102\cdot 103}</math> | ||
+ | |||
+ | '''2.''' Fejtse Laurent-sorba az | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{z}{z+i}</math> | ||
+ | függvényt úgy, hogy a sorfejtés a 1/2 pontban előállítsa a függvényt! | ||
+ | |||
+ | '''a)''' a 0 körül, | ||
+ | |||
+ | '''b)''' az 1 körül | ||
+ | |||
+ | '''c)''' Milyen szingularitása van a -i-ben? Mennyi a reziduuma ebben? | ||
+ | |||
+ | ''MO.'' a) Ha ránézünk a becses kezeinkkel rajzolt ábrára (ugye mindenki csinált ábrát!), akkor láthatjuk, hogy a reguláris, belső körbe esik mindkét pont körül az 1/2. | ||
+ | |||
+ | :<math>f(z)=\frac{z}{z+i}=\frac{z}{i}\frac{1}{\frac{z}{i}+1}=\frac{z}{i}\frac{1}{1-\frac{-z}{i}}</math> | ||
+ | tehát <math>q=\frac{-z}{i}</math>, ami |z|<1 esetén lesz konvergens sor alakú: | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{z}{i}\frac{1}{1-\frac{-z}{i}}=\frac{z}{i}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{-z}{i}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{-z}{i}\right)^{n+1}=\sum\limits_{n=0}^\infty i^{n+1}z^{n+1}</math> | ||
+ | |||
+ | b) | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{(z-1)+1}{(z-1)+1+i}=\frac{z-1}{(z-1)+1+i}+\frac{1}{(z-1)+1+i}=(z-1)\frac{1}{(z-1)+1+i}+\frac{1}{(z-1)+1+i}</math> | ||
+ | :<math>\frac{1}{(z-1)+1+i}=\frac{1}{1+i}\frac{1}{\frac{z-1}{1+i}+1}=\frac{1}{1+i}\frac{1}{1-\frac{-(z-1)}{1+i}}</math> | ||
+ | tehát <math>q=\frac{-z+1}{1+i}</math>, ami <math>|z-1|<\sqrt{2}</math> esetén lesz konvergens sor alakú: | ||
+ | :<math>\frac{1}{1+i}\frac{1}{1-\frac{-(z-1)}{1+i}}=\frac{1}{1+i}\frac{1}{1-\frac{-(z-1)}{1+i}}=\frac{1}{1+i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-(z-1)}{1+i}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-1}{1+i}\right)^{n+1}(z-1)^n</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-1}{1+i}\right)^{n+1}(z-1)^{n+1}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-1}{1+i}\right)^{n+1}(z-1)^n</math> | ||
+ | |||
+ | c) | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{z}{z+i}=\frac{z+i-i}{z+i}=1-\frac{i}{z+i}</math> | ||
+ | maga a -i körüli Laurent-sor, itt a reciprokos tag együtthatója: -i, azaz ennyi a reziduum. Pólusszingularitása van itt és ennek foka 1, mert a Laurent-sor főrészében csak a reciprok szerepel. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''3.''' Fejtse Laurent-sorba az | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{1}{z^2(z+i)}</math> | ||
+ | függvényt a 0 körül úgy, hogy a sorfejtés a 2i pontban előállítsa a függvényt! Milyen szingularitása van a 0-ban? És a -i-ben? | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | |||
+ | Az ábrából látható, hogy a szingularitáson túli gyűrűben van 2i, ezért 1/z szerint kell sorfejteni. | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{1}{z^2(z+i)}=\frac{1}{z^3}\frac{1}{1+\frac{i}{z})}=\frac{1}{z^3}\frac{1}{1-\frac{-i}{z})}</math> | ||
+ | tehát <math>q=\frac{-i}{z}</math>, ami |z|>1 esetén lesz konvergens sor alakú, azaz 2i ide tartozik | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{1}{z^3}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{-i}{z}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(-i)^{n}\left(\frac{1}{z}\right)^{n+3}</math> | ||
+ | |||
+ | 0 az f nevezőjének kétszeres gyöke, a számlálónak nem gyöke, a -i a nevezőnek egyszeres, a számlálónak nullaszoros gyöke. Tehát 0-ban másodfokú pólusa van, -i-ben elsőfokú. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''4.''' Fejtse Laurent-sorba az | ||
+ | :<math>f(z)=\mathrm{sh}(\frac{1}{z^2})</math> | ||
+ | függvényt a 0 körül! Milyen szingularitása van a 0-ban? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ''MO.'' | ||
+ | :<math>f(z)=\mathrm{sh}(\frac{1}{z^2})=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{3!z^6}+\frac{1}{5!z^{10}}+\frac{1}{7!z^{14}}+\dots</math> | ||
+ | végtelen sok tag van a főrészben, ezért a szingularitás lényeges. | ||
+ | |||
+ | ===Integrálás paraméterezéssel és Newton--Leibniz-formulával=== | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{G}f=\int\limits_{t=t_1}^{t_2}f(z(t))\dot{z}(t)dt</math> | ||
+ | ahol G paraméterezése <math>t\mapsto z(t)</math>, <math>t_1\leq t\leq t_2</math> folytonosan differenciálható, f folytonos a G-t tartalmazó egy nyílt halmazon. | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{G,z_1}^{z_2}f=F(z_2)-F(z_1)</math> | ||
+ | ahol F komplex deriválható és F'=f, valamint f Riemann integrálható a G mentén, G kezdőpontja <math>z_1</math>, végpontja <math>z_2</math> | ||
+ | |||
+ | '''1.''' Adja meg az | ||
+ | :<math> | ||
+ | f(z)=\overline{z}^2\,</math> | ||
+ | függvény integráláját az | ||
+ | |||
+ | '''a''') Origó középpontú, pozitívan irányított egységkör <math>Re(z)\geq 0</math> feltételt teljesítő felére! | ||
+ | |||
+ | '''b''') [0,2+i] szakaszra! | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''2.''' Adja meg az | ||
+ | :<math> | ||
+ | f(z)=\frac{2z}{(z^2+1)^2}\,</math> | ||
+ | függvény integráláját az | ||
+ | |||
+ | '''a''') Origó középpontú, pozitívan irányított kétségkör <math>Im(z),Re(z)\leq 0</math> feltételt teljesítő negyedére! | ||
+ | '''b''') Origó középpontú, pozitívan irányított kétségkörre! | ||
+ | |||
+ | ===Integrálás Riemann-féle integráltétellel és Cauchy-féle integrálformulával=== | ||
+ | '''Cauchy-féle integráltétel''' Ha a D korlátos és zárt tartomány ∂D határa egy zárt görbével paraméterezhető és a görbe a tartománnyal kompatibilisan irányított, továbbá a D⊆U⊆'''C''' nyílt halmazon reguláris az f függvény, akkor | ||
+ | :<math>\oint\limits_{\partial D} f=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Riemann-féle integráltétel''' Ha a D korlátos és zárt tartomány ∂D határa egy zárt görbével paraméterezhető és a görbe a tartománnyal kompatibilisan irányított, továbbá a D⊆U⊆'''C''' nyílt halmazon reguláris az f függvény, kivéve a D egyetlen pontját és f korlátos, akkor | ||
+ | :<math>\oint\limits_{\partial D} f=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Cauchy-féle integrálformulák''' Ha a D korlátos és zárt, egyszeresen összefüggő tartomány G=∂D határa egy zárt görbével paraméterezhető és a görbe a tartománnyal kompatibilisan irányított, továbbá a D⊆U⊆'''C''' nyílt halmazon reguláris az f függvény és <math>z_0\in \mathrm{int} D</math>, akkor | ||
+ | :<math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''1.'''* <math>\oint\limits_{|z|=1} \frac{\cos(z)-1}{\sin(z^2)}=?\,\mathrm{d}z</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''2.''' <math>\oint\limits_{|z|=1} \frac{\cos (z)}{z^{100}}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''3.''' <math>\oint\limits_{|z-i|=2} \frac{z^2+z+1}{z^4+4z^2}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''4.''' <math>\oint\limits_{|z-1|=\frac{1}{2}} \frac{\cos(\ln z)}{z^2-3z+2}=?</math> | ||
+ | |||
+ | ===Integrálás reziduumtétellel=== | ||
+ | '''Reziduumtétel''' Ha a D korlátos és zárt, egyszeresen összefüggő tartomány G=∂D határa egy zárt görbével paraméterezhető és a görbe a tartománnyal kompatibilisan irányított, továbbá a D⊆U⊆'''C''' nyílt halmazon reguláris az f függvény kivéve a <math>z_1,\dots,z_n\in\mathrm{int}\,D</math> pontokban, akkor | ||
+ | :<math>\oint\limits_{G} f=\sum\limits_{k=1}^n\mathrm{Res}^f(z_k)</math> | ||
+ | ahol <math>\mathrm{Res}^f(\zeta)</math> az f függvény <math>\zeta</math> körüli azon Laurent-sorának <math>c_{-1}</math> együtthatója, mely a függvényt a <math>\zeta</math> egy kipontozot környzetében állítja elő. | ||
+ | |||
+ | '''1.'''* <math>\oint\limits_{|z|=1} \frac{z^2+5z+1}{\mathrm{sh}(z)}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''2.''' <math>\oint\limits_{|z-3|=1} \frac{5z+1}{\sin(z)}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''3.''' <math>\oint\limits_{|z|=1} \frac{e^{z^2+2}}{(2z+4)\sin(\frac{\pi z}{4})}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
+ | ==Vektoranalízis== | ||
+ | |||
+ | ===Differenciáloperátorok=== | ||
+ | |||
+ | '''1.''' Hol létezik és mennyi az alábbi függvények gradiense? | ||
+ | |||
+ | :'''a)''' <math> \mathbf{v}(\mathbf{r})=|\mathbf{r}|^4\,</math> | ||
+ | :'''b)''' <math> \mathbf{v}(\mathbf{r})=\frac{1}{|\mathbf{r}|^2}\,</math> | ||
+ | :'''c)''' <math> \mathbf{v}(\mathbf{r})=\sin(|\mathbf{r}|^3)\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''2.''' Hol létezik és ott mi az alábbi térbeli vektormező rotációja és divergenciája? | ||
+ | |||
+ | :'''a)''' <math> \mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{r}|\mathbf{r}|^6\,</math> | ||
+ | :'''b)''' <math> \mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{k}\times\mathbf{r}\,</math> ('''k''' a z irányú egységvektor) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===Potenciálkeresés=== | ||
+ | |||
+ | '''1.''' Ha van, mi az alábbi térbeli vektormező potenciálja? | ||
+ | |||
+ | :<math> v(x,y,z)=(2xy^3,3x^2y^2,z^2)\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''2.''' Ha van, mi az alábbi síkbeli vektormező potenciálja? | ||
+ | :<math> v(x,y)=(x^3+y^3,3xy^2)\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''3.''' Ha van, mi az alábbi függvény potenciálja? | ||
+ | :'''a)''' <math> \mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{r}|\mathbf{r}|^6\,</math> | ||
+ | :'''b)''' <math> \mathbf{v}(\mathbf{r})=\frac{2\mathbf{r}}{1+|\mathbf{r}|^2}\,</math> | ||
+ | |||
+ | ===Vonalintegrál=== | ||
+ | :<math>\int\limits_{G,\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot\dot\mathbf{r}(t)\,\mathrm{d}t</math> | ||
+ | ahol '''r'''<sub>1</sub> = '''r'''(''t''<sub>1</sub>), '''r'''<sub>2</sub> = '''r'''(''t''<sub>2</sub>). | ||
+ | :<math>\int\limits_{G}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{G}v_t\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|</math> | ||
+ | ahol ''v''<sub>t</sub> a vektormezőnek a görbe érintője irányú komponense, az integrál pedig a vektormező ívhossz szerinti integrálja. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''1. ''' Számítsuk ki az alábbi vektormezőnek az A=(1,-2,3), B=(2,1,4) végpontú egyenes szakaszra vonatkozó integrálját! | ||
+ | :<math>\mathbf{v}(x,y,z)=(y+z)\mathbf{i}+(x+z)\mathbf{j}+(x+y)\mathbf{k}\,</math> | ||
+ | |||
+ | '''2.''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' × '''r''' függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vonatkozó integrálját! | ||
+ | |||
+ | '''3. ''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' × '''r''' / |'''k''' × '''r'''|<sup>2</sup> függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vett integrálját! | ||
+ | |||
+ | ===Felületi integrál=== | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{F_{u,v}}\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v))\left(\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}\right)\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{F}v_\mathbf{n}\,|\mathrm{d}\mathbf{F}|</math> | ||
+ | felszín integrállal a normális irányú komponensből. | ||
+ | |||
+ | '''1.''' Számítsuk ki a '''v''' vektormezőnek az '''r''' felületre vett integrálját: | ||
+ | :<math>\mathbf{v}(x,y,z)=x\mathbf{i}-y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\,</math> | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(u,v)=(u+2v)\mathbf{i}+v\mathbf{j}+(u-v)\mathbf{k},\;u\in[0,3], \;v\in[0,1]</math> | ||
+ | '''2. ''' Számítsuk ki az '''v''' = '''r'''-nek az R sugarú, M magasságú, z tengelyű hengerre vonatkozó felületi integrálját! | ||
− | '' | + | '''3.''' Számítsuk ki az R sugarú origó középpontú gömbnyolcad felszínére az '''v''' = '''r'''|'''r'''|<sup>3</sup> integrálját! |
− | + |
A lap jelenlegi, 2016. június 8., 09:00-kori változata
Tartalomjegyzék |
Differenciálegyenletek
Fokszámban homogén egyenletek
1.
MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
Explicit mo.:
- Itt
2.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:
- ;
Implicit mo.:
- ; és y=0
Explicit mo.:
- és y=0.
3.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
- ;
Explicit mo.:
- ;
Kezdetiérték feladat
1. ; (y(-1)=0)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
2. ; (y(0)=-1)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
- ; ()
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
Egzaktra visszavezethető
Majd
1.
MO.:
Tehát x5 alkalmas integráló szorzó.
Innen az
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
(Az explicit pedig:
- )
2.
MO.:
integráló szorzó.
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
Lineáris argumentumú egyenlet
1.
MO. u=4x-y; u'=4-y'
- ; konstans megoldások:
- ; (ha )
Implicit általános megoldás:
- és az szeparálással ki nem hozható két megoldás:
2.
MO. u=x+y; u'=1+y'
- ; konstans megoldások:
- ; (ha )
Implicit általános mo.:
- és a szeparálással ki nem hozható megoldások:
Függvényegyütthatós lineáris egyenlet
1.
MO. I.) Homogén. y≡0 mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük.
Behelyettesítés után:
így az általános mo.:
2.
MO. I.) Homogén. y≡0 (x>0) mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük. Behelyettesítés után:
így az általános mo.:
Laplace-transzformációval megoldható feladatok
1. x(0)=1; y(0)=-1 kezdeti feltétellel oldja meg az
egyenletrendszert!
MO.
Ebből kell kifejezni X-et és Y-t. Egyszerű a megoldás, ha észrevesszük, hogy ezeket összeadva:
ami minden s-re csak akkor teljesül, ha X=-Y. (De egyenletrendezéssel is megy, ha az egyik egyenletből az s-sel meg nem szorzott változót kifejezzük és a másodikbe helyettesítjük, pl. az elsőből az Y-t kifejezzük.) Innen pl. az első egyenletből:
Ezt visszatranszformálva:
És y=-x miatt:
2. y(0)=0; y'(0)=0 kezdeti feltétellel oldja meg az
egyenletet!
MO.
Innen visszatranszformálva:
Próbafüggvény módszerrel megoldható egyenletek
Homogén egyenlet megoldása:
- (karakterisztikus polinom)
- , akkor (belső rezonancia)
- , akkor
- , akkor
Inhomogén partikuláris alakja rezonanciák nélkül, spéci esetekben:
- , és
- , akkor
- , akkor
- , akkor
- , akkor
Általános (exp., trig., pol.) esetben pedig ha
- ,
akkor
ahol a karakterisztikus polinomnak m-szeres gyöke és deg{P}=deg{Q}=max{deg P, deg Q} polinomok (úgy értve, hogy deg 0=-∞). Tehát ha m>0, akkor külső rezonancia van.
1. Adja meg az
egyenlet általános megoldását!
MO. , mert gyökei
Ezt behelyettesítve az egyenletbe:
Tehát és , így az általános megoldás: ,
2. (Rezonanciás feladatok)
a.
Mo. vázlat. , azaz . Innen
- yH(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x)
Mivel
ezért a + bi = 3i egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az
alakban keresendő.
b.
Mo. vázlat. , azaz . Innen
Mivel
ezért a = 2 kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az
alakban keresendő.
c.
Mo. vázlat. , azaz . Innen
Mivel
ezért a = 1 egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=1 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik (sin(0)=0), de P(x)=Ax+B elsőfokú, mert p(x)=x (hiszen cos(0)=1 és ez megmaradt), így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az
alakban keresendő.
Komplex függvénytan
Folytonosság, határérték
1. Határozzuk meg, hogy az alábbi függvény folytonos-e?
Mo. A pontokon kívül a függvény folytonos függvények felhasználásával van definiálva a folytonosságot megőrző módokon, ezért -n kívül folytonos. z = 2i-ben a függvény 0/0 alakú, ami határozatlan alak, de alakalmazható a L'Hospital szabály:
tehát a határérték létezik és a helyettesítési értékkel egyenlő, azaz 2i-ben a függvény folytonos.
z = − 2i-ben a függvény -4/0 alakú, ami a komplex függvénytanban határozott alak és ez a komplex végtelen: -4/0=∞. Tehát itt a függvény nem folytonos.
2. Hol létezik véges határértéke az alábbi függvényeknek?
- a)
- b)
Mo. a) Legyen z = x + iy. Mivel , ezért f csak a 0-ban nincs értelmezve. Itt valós és képzetes részre bontva:
A sejtés, hogy a valós komponensnek van, a képzetesnek nincs határtéráke. Ezért érdemes csak a képzetest megvizsgálni, mert pontosan akkor létezik a határérték, ha mindkét komponensnek létezik.
- irányból
- irányból
azaz a határérték nem létezhet a 0-ban. (Amúgy a valós rész határértéke létezik és 0, ugyanis rendőrelvvel:
- )
b)
Nincs értelmezve az x=0 pontokban, azaz az y tengely pontjaiban. Nemnulla y0 esetén a (0,y0) ponthoz az (x,y_0) mentén tartva y0 / x-nek végtelen a határértéke, tehát ott nem létezik. Ha y0 nulla, akkor az (x,0) mentén y/x=0, az (x,x) mentén y/x=1, azaz az origóban sincs határértéke. De mindehol máshol van, mert a határérték invariáns az alapműveletekre.
Deriválhatóság
1. Hol deriválható komplex módon és hol reguláris az alábbi függvény?
- a)
- b)**
Mo. a) Legyen z = x + iy.
Ezek a parciális deriváltak mindenhol folytonosak, azaz az (u,v) pár totálisan deriválható mindenhol. Innen a Cauchy--Riemann-egyenletek:
Mivel az első, azaz csak a 0-ban teljesül, a második pedig mindenhol, ezért a függvény pontosan a 0-ban deriválható. Ebből az is következik, hogy nincs olyan nyílt környezet, ahol minden pontban deriválható le.
b) u = x2 − y2, v = 2 | xy | . Vegyük észre, hogy amikor 2|xy|=2xy egy egész nyílt környezetben, akkor g(z)=z^2, azaz ezekben az esetekben reguláris a függvény. Ez az xy>0 esetében van. Tehát csak a tengelyeken kell megvizsgálni. |xy| az origón kívül a tengelyeken parciálisan nem deriválható. Az origóban viszont CR is fennáll és totálisan is deriválhatóak a komponensek
tehát ott deriválható.
A síknegyedeken belül tehát reguláris.
2. Hol deriválható komplex módon és hol reguláris az alábbi függvény?
- a)*
- b)
Mo. a) HF CR-egyenletekkel igazolni, hogy |z| sehol se deriválató. Azt tudjuk, hogy sin(z) mindenütt deriválható. sin(z) = 0 pontosan akkor, ha z = kπ (HF). Ezért esetén, ha f(z) deriválható lenne, akkor
is deriválható lenne, ami tehát lehetetlen. Már csak a z = kπ pontokban kell megvizsgálni, amit definíció szerint teszünk. A különbségi hányados függvény az deriválás helyén 0/0 alakú, ezért az első tényezőre alkalmazhatjuk a L'Hospital szabályt:
ami létezik, tehát minden kπ pontban deriválható a függvény, de máshol nem, így sehol sem reguláris.
b)
Ezek a parciális deriváltak mindenhol folytonosak, azaz az (u,v) pár totálisan deriválható mindenhol. Innen a Cauchy--Riemann-egyenletek:
Azaz a függvény az
parabola mentén komplex deriválható, de sehol se reguláris, mert nincs olyan nyílt környzete, melyben mindenütt deriválható lenne.
3. (Harmonikustárs-keresés)
- ,
akkor harmonikus az nyílton. Ha f=u+iv reguláris az U tartományon, akkor u és v harmonikus. Ha u harmonikus, az U tartományon, akkor létezik U-n v harmonikus, hogy f=u+iv reguláris. Ekkor v az u-nak egy harmonikus társa (és u az v-nek). Ha f=u+iv reguláris, akkor u,v-re teljesülnek a CR-egyenletek.
Ha létezik, akkor adjuk meg az
függvény harmonikus társát!
Mo.
tehát létezik harmonikus társa és ezt megtaláljuk az alábbiakból:
Tehát
(Hát persze, hiszen u = Re((1 + i / 2)z2))
Elemi függvények
1. Számítsa ki az
függvény valós és képzetes részét!
MO. z = x + iy
2. Oldja meg a
egyenletet!
MO.
mivel exp 2πi szerint periodikus, ezért:
3. Adja meg az
szám értékét!
MO.
Sorok
Taylor-sor:
- valamely R-rel.
Laurent-sor:
- valamely R1, R2-vel.
Az f függvénynek a ζ pont izolált szingularitása, ha f reguláris a ζ egy kipontozott környezetében, de nem reguláris ζ-ban. Izolált szingularitás körül a függvény Laurent-sor mindig lézezik ezért a sor alakja szerint osztályozzuk a szingularitásokat.
Megszüntethető, ha L.-sorban nincsenek reciprokos tagok. Ilyenkor a függvény regulárissá tehető, melynek Taylor-sora pont a Laurent-sora.
Pólusszingularitása van f-nek a ζ pontban, ha a ζ körüli Laurent-sor főrészében 1 / (z − ζ)-nak véges sok nemnulla hatványa szerepel. Ezek körzül a 1 / (z − ζ) legnagyobb kitevőjű hatványának kitevője a pólusszingularitás foka.
Lényeges szingularitása van f-nek ζ-ban, ha a ζ körüli Laurent-sorban 1 / (z − ζ)-nak végtelen sok nemnulla hatványa szerepel.
- , ha | q | < 1
1. Igazolja, hogy az
függvénynek megszüntethető szakadása van a 0-ban! Adja meg a reguláris kiterjesztés 100. deriváltját a 0-ban!
MO.
Mivel a sorfejtés egyértelmű, ezért a z100 tag együtthatója egyértelmű, azaz egyfelől a Taylor-sorból felírva, másfelől a most megadott sorfejtésből:
2. Fejtse Laurent-sorba az
függvényt úgy, hogy a sorfejtés a 1/2 pontban előállítsa a függvényt!
a) a 0 körül,
b) az 1 körül
c) Milyen szingularitása van a -i-ben? Mennyi a reziduuma ebben?
MO. a) Ha ránézünk a becses kezeinkkel rajzolt ábrára (ugye mindenki csinált ábrát!), akkor láthatjuk, hogy a reguláris, belső körbe esik mindkét pont körül az 1/2.
tehát , ami |z|<1 esetén lesz konvergens sor alakú:
b)
tehát , ami esetén lesz konvergens sor alakú:
c)
maga a -i körüli Laurent-sor, itt a reciprokos tag együtthatója: -i, azaz ennyi a reziduum. Pólusszingularitása van itt és ennek foka 1, mert a Laurent-sor főrészében csak a reciprok szerepel.
3. Fejtse Laurent-sorba az
függvényt a 0 körül úgy, hogy a sorfejtés a 2i pontban előállítsa a függvényt! Milyen szingularitása van a 0-ban? És a -i-ben?
Mo.
Az ábrából látható, hogy a szingularitáson túli gyűrűben van 2i, ezért 1/z szerint kell sorfejteni.
tehát , ami |z|>1 esetén lesz konvergens sor alakú, azaz 2i ide tartozik
0 az f nevezőjének kétszeres gyöke, a számlálónak nem gyöke, a -i a nevezőnek egyszeres, a számlálónak nullaszoros gyöke. Tehát 0-ban másodfokú pólusa van, -i-ben elsőfokú.
4. Fejtse Laurent-sorba az
függvényt a 0 körül! Milyen szingularitása van a 0-ban?
MO.
végtelen sok tag van a főrészben, ezért a szingularitás lényeges.
Integrálás paraméterezéssel és Newton--Leibniz-formulával
ahol G paraméterezése , folytonosan differenciálható, f folytonos a G-t tartalmazó egy nyílt halmazon.
ahol F komplex deriválható és F'=f, valamint f Riemann integrálható a G mentén, G kezdőpontja z1, végpontja z2
1. Adja meg az
függvény integráláját az
a) Origó középpontú, pozitívan irányított egységkör feltételt teljesítő felére!
b) [0,2+i] szakaszra!
2. Adja meg az
függvény integráláját az
a) Origó középpontú, pozitívan irányított kétségkör feltételt teljesítő negyedére! b) Origó középpontú, pozitívan irányított kétségkörre!
Integrálás Riemann-féle integráltétellel és Cauchy-féle integrálformulával
Cauchy-féle integráltétel Ha a D korlátos és zárt tartomány ∂D határa egy zárt görbével paraméterezhető és a görbe a tartománnyal kompatibilisan irányított, továbbá a D⊆U⊆C nyílt halmazon reguláris az f függvény, akkor
Riemann-féle integráltétel Ha a D korlátos és zárt tartomány ∂D határa egy zárt görbével paraméterezhető és a görbe a tartománnyal kompatibilisan irányított, továbbá a D⊆U⊆C nyílt halmazon reguláris az f függvény, kivéve a D egyetlen pontját és f korlátos, akkor
Cauchy-féle integrálformulák Ha a D korlátos és zárt, egyszeresen összefüggő tartomány G=∂D határa egy zárt görbével paraméterezhető és a görbe a tartománnyal kompatibilisan irányított, továbbá a D⊆U⊆C nyílt halmazon reguláris az f függvény és , akkor
1.*
2.
3.
4.
Integrálás reziduumtétellel
Reziduumtétel Ha a D korlátos és zárt, egyszeresen összefüggő tartomány G=∂D határa egy zárt görbével paraméterezhető és a görbe a tartománnyal kompatibilisan irányított, továbbá a D⊆U⊆C nyílt halmazon reguláris az f függvény kivéve a pontokban, akkor
ahol Resf(ζ) az f függvény ζ körüli azon Laurent-sorának c − 1 együtthatója, mely a függvényt a ζ egy kipontozot környzetében állítja elő.
1.*
2.
3.
Vektoranalízis
Differenciáloperátorok
1. Hol létezik és mennyi az alábbi függvények gradiense?
- a)
- b)
- c)
2. Hol létezik és ott mi az alábbi térbeli vektormező rotációja és divergenciája?
- a)
- b) (k a z irányú egységvektor)
Potenciálkeresés
1. Ha van, mi az alábbi térbeli vektormező potenciálja?
2. Ha van, mi az alábbi síkbeli vektormező potenciálja?
3. Ha van, mi az alábbi függvény potenciálja?
- a)
- b)
Vonalintegrál
ahol r1 = r(t1), r2 = r(t2).
ahol vt a vektormezőnek a görbe érintője irányú komponense, az integrál pedig a vektormező ívhossz szerinti integrálja.
1. Számítsuk ki az alábbi vektormezőnek az A=(1,-2,3), B=(2,1,4) végpontú egyenes szakaszra vonatkozó integrálját!
2. Számítsuk ki a v = k × r függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vonatkozó integrálját!
3. Számítsuk ki a v = k × r / |k × r|2 függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vett integrálját!
Felületi integrál
felszín integrállal a normális irányú komponensből.
1. Számítsuk ki a v vektormezőnek az r felületre vett integrálját:
2. Számítsuk ki az v = r-nek az R sugarú, M magasságú, z tengelyű hengerre vonatkozó felületi integrálját!
3. Számítsuk ki az R sugarú origó középpontú gömbnyolcad felszínére az v = r|r|3 integrálját!