Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2016. június 3., 21:14-kori változata

1. $y'=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}$

MO. $u = y / x$ ; $y = u x$ ; $y' = u' x + u$

$u'x+u=\frac{1}{u}+2u$

$u'x=\frac{1+2u^2}{u}$

$\int\frac{u}{1+2u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$

$\frac{1}{2}\int\frac{2u}{1+2u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$

$\frac{1}{2}\ln|1+2u^2|=\ln|x|+C$ ; $(C\in\mathbf{R})$

$\ln |1+2u^2|=\ln c_1^2x^2\,$ ;

(c 1 = ln C)

$1+2u^2=cx^2\,$ ;

(c > 0)

Implicit mo.:

$1+2\frac{y^2}{x^2}=cx^2\,$ ;

(c > 0)

Explicit mo.:

$y=x\cdot\left(\pm\sqrt{\frac{c}{2}}\sqrt{x^2-\frac{1}{c}}\right)$

Itt $|x|>\frac{1}{\sqrt{c}}$

2. $x 2 y' = x y + y 2$ MO.

@@ 16. sor: / 16. sor: @@
 \frac{1}{2}\ln|1+2u^2|=\ln|x|+C</math>; <math>(C\in\mathbf{R})</math>
 :<math>
-\ln |1+2u^2|=\ln c_1^2x^2\,</math>; <math>(c_1>0)</math>
+\ln |1+2u^2|=\ln c_1^2x^2\,</math>; <math>(c_1=\ln C)</math>
 :<math>
 +2u^2=cx^2\,</math>; <math>(c>0)</math>