Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2016. június 3., 21:19-kori változata

1. $y'=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}$

MO. $u = y / x$ ; $y = u x$ ; $y' = u' x + u$

$u'x+u=\frac{1}{u}+2u$

$u'x=\frac{1+2u^2}{u}$

$\int\frac{u}{1+2u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$

$\frac{1}{2}\int\frac{2u}{1+2u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$

$\frac{1}{2}\ln|1+2u^2|=\ln|x|+C$ ; $(C\in\mathbf{R})$

$\ln |1+2u^2|=\ln c_1^2x^2\,$ ; $(c_1=\ln C\,)$

$1+2u^2=cx^2\,$ ; $\qquad(c>0)\,$

Implicit mo.:

$1+2\frac{y^2}{x^2}=cx^2\,$

Explicit mo.:

$y=x\cdot\left(\pm\sqrt{\frac{c}{2}}\sqrt{x^2-\frac{1}{c}}\right)$

Itt $|x|>\frac{1}{\sqrt{c}}$

2. $x^2y'=xy+y^2\,$

MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:

$x^2y'=ux^2+u^2x^2\,$

@@ 27. sor: / 27. sor: @@
 '''2.''' <math>x^2y'=xy+y^2\,</math>
-''MO.'' y&equiv;0 mo.
+''MO.'' ''y&equiv;0'' konstans mo. ''y=ux'' helyettesítéssel:
+:<math>x^2y'=ux^2+u^2x^2\,</math>