Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Fokszámban homogén egyenletek) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Fokszámban homogén egyenletek) |
||
29. sor: | 29. sor: | ||
''MO.'' ''y≡0'' konstans mo. ''y=ux'' helyettesítéssel: | ''MO.'' ''y≡0'' konstans mo. ''y=ux'' helyettesítéssel: | ||
− | :<math>x^ | + | :<math>x^2(u'x+u)=ux^2+u^2x^2\,</math> |
+ | ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén: | ||
+ | :<math>u'x+u=u+u^2\,</math> | ||
+ | :<math>u'x=u^2\,</math> | ||
+ | :<math>\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2}=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\,</math> | ||
+ | :<math>-\frac{1}{u}=\ln |x|+C\,</math>; <math>(C\in\mathbf{R})</math> | ||
+ | Implicit mo.: | ||
+ | :<math>-x=y\ln c|x|\,</math>; <math>(c=\ln C\,)</math> és ''y=0'' | ||
+ | Explicit mo.: | ||
+ | :<math>y=\frac{-x}{\ln c|x|}\,</math> és ''y=0''. | ||
+ | |||
+ | '''3.''' <math>x^2y'=2xy+y^2\,</math> | ||
+ | |||
+ | ''MO.'' ''y≡0'' konstans mo. ''y=ux'' helyettesítéssel: | ||
+ | |||
+ | :<math>u'x+u=2u+u^2\,</math> | ||
+ | :<math>u'x=u+u^2\,</math> | ||
+ | :<math>\int\frac{\mathrm{d}u}{u(u+1)}=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\,</math> | ||
+ | :<math>\int\frac{1}{u}-\frac{u+1}\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\,</math> | ||
+ | :<math>\ln|u|-\ln|u+1|=\ln |x|+C\,</math>; <math>(C\in\mathbf{R})</math> | ||
+ | :<math>\ln\left|\frac{u}{u+1}\right|=\ln c_1|x|\,</math>; <math>(c_1=\ln C\,)</math> | ||
+ | :<math>\frac{u}{u+1}= cx\,</math>; <math>(c\in\mathbf{R})</math> | ||
+ | Implicit mo.: | ||
+ | :<math>y= c(xy+x^2)\,</math>; <math>(c\in\mathbf{R})</math> | ||
+ | Explicit mo.: | ||
+ | :<math>y=\frac{cx^2}{1+cx}\,</math>; <math>(c\in\mathbf{R})</math> |
A lap 2016. június 3., 22:06-kori változata
Differenciálegyenletek
Fokszámban homogén egyenletek
1.
MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
Explicit mo.:
- Itt
2.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:
- ;
Implicit mo.:
- ; és y=0
Explicit mo.:
- és y=0.
3.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
- ;
Explicit mo.:
- ;