Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→Egzaktra visszavezethető)
(→Egzaktra visszavezethető)
85. sor: 85. sor:
 
:<math>y=-\sqrt[6]{6e^{x^2}-7}\,</math>
 
:<math>y=-\sqrt[6]{6e^{x^2}-7}\,</math>
 
===Egzaktra visszavezethető===
 
===Egzaktra visszavezethető===
−
:<math>\ch x-3y^2=xyy'\,</math>
+
:<math>\frac{1}{x^4}-3y^2=xyy'\,</math>
  
 
MO.:
 
MO.:
−
:<math>(\ch x-3y^2)\mathrm{dx}-xy\mathrm{dy}=0\,</math>
+
:<math>(\frac{1}{x^4}-3y^2)\,\mathrm{dx}-xy\,\mathrm{dy}=0\,</math>
 +
:<math>\partial_y(\frac{1}{x^4}-3y^2)-\partial_x(-xy)=-6y+y=-5y</math>
 +
:<math>R(x)=\frac{-5y}{-xy}=\frac{5}{x}</math>
 +
:<math>\mu(x)=e^{\int \frac{5}{x}\mathrm{d}x}=e^{5\ln|x|}=|x|^5</math>
 +
Tehát <math>x^5</math> alkalmas integráló szorzó.
 +
:<math>x-3x^5y^2-x^6yy'=0\,</math>

A lap 2016. június 3., 22:52-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Differenciálegyenletek

Fokszámban homogén egyenletek

1. y'=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}

MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u

u'x+u=\frac{1}{u}+2u
u'x=\frac{1+2u^2}{u}
\int\frac{u}{1+2u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x
\frac{1}{2}\int\frac{2u}{1+2u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x
\frac{1}{2}\ln|1+2u^2|=\ln|x|+C; (C\in\mathbf{R})
\ln |1+2u^2|=\ln c_1^2x^2\,; (c_1=\ln C\,)
1+2u^2=cx^2\,; \qquad(c>0)\,

Implicit mo.:

1+2\frac{y^2}{x^2}=cx^2\,

Explicit mo.:

y=x\cdot\left(\pm\sqrt{\frac{c}{2}}\sqrt{x^2-\frac{1}{c}}\right)
Itt |x|>\frac{1}{\sqrt{c}}

2. x^2y'=xy+y^2\,

MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:

x^2(u'x+u)=ux^2+u^2x^2\,

ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:

u'x+u=u+u^2\,
u'x=u^2\,
\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2}=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\,
-\frac{1}{u}=\ln |x|+C\,; (C\in\mathbf{R})

Implicit mo.:

-x=y\ln c|x|\,; (c=\ln C\,) és y=0

Explicit mo.:

y=\frac{-x}{\ln c|x|}\, és y=0.

3. x^2y'=2xy+y^2\,

MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:

u'x+u=2u+u^2\,
u'x=u+u^2\,
\int\frac{\mathrm{d}u}{u(u+1)}=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\,
\int\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\,
\ln|u|-\ln|u+1|=\ln |x|+C\,; (C\in\mathbf{R})
\ln\left|\frac{u}{u+1}\right|=\ln c_1|x|\,; (c_1=\ln C\,)
\frac{u}{u+1}= cx\,; (c\in\mathbf{R})

Implicit mo.:

y= c(xy+x^2)\,; (c\in\mathbf{R})

Explicit mo.:

y=\frac{cx^2}{1+cx}\,; (c\in\mathbf{R})

Kezdetiérték feladat

1. y'=e^{x-y}\,; (y(-1)=0)

MO.

y'=\frac{e^{x}}{e^{y}}\,
\int e^y\,\mathrm{d}y=\int e^{x}\mathrm{d}x\,

Implicit ált. mo.:

e^y=e^{x}+C\,; (C\in\mathbf{R})

Explicit általános mo.:

y=\ln(e^{x}+C)\,

Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:

e^{-1}=1+C\,
C=\frac{1}{e}-1\,

A kezdeti feltételt kielégítő mo.:

y=\ln(e^{x}+\frac{1}{e}-1)\,

2. y'=\frac{2xe^{x^2}}{y^5}\,; (y(0)=-1)

MO.

\int y^5\,\mathrm{d}y=\int 2xe^{x^2}\,\mathrm{d}x

Implicit ált. mo.:

\frac{y^6}{6}=e^{x^2}+C\,; (C\in\mathbf{R})

Explicit általános mo.:

y=\pm\sqrt[6]{6e^{x^2}+6C}\,; (C\in\mathbf{R})

Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:

-\frac{1}{6}=1+C\,
C=-\frac{1}{6}-1=-\frac{7}{6}\,

A kezdeti feltételt kielégítő mo.:

y=-\sqrt[6]{6e^{x^2}-7}\,

Egzaktra visszavezethető

\frac{1}{x^4}-3y^2=xyy'\,

MO.:

(\frac{1}{x^4}-3y^2)\,\mathrm{dx}-xy\,\mathrm{dy}=0\,
\partial_y(\frac{1}{x^4}-3y^2)-\partial_x(-xy)=-6y+y=-5y
R(x)=\frac{-5y}{-xy}=\frac{5}{x}
\mu(x)=e^{\int \frac{5}{x}\mathrm{d}x}=e^{5\ln|x|}=|x|^5

Tehát x5 alkalmas integráló szorzó.

x-3x^5y^2-x^6yy'=0\,
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Szerkeszt%C5%91:Mozo/A3_gyakorl%C3%B3_feladatok_5.&oldid=11737”
Személyes eszközök