Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→Egzaktra visszavezethető)
(→Egzaktra visszavezethető)
105. sor: 105. sor:
 
(Az explicit pedig:
 
(Az explicit pedig:
 
:<math>y=\pm\sqrt{\frac{x^2+C}{x^6}}</math>)
 
:<math>y=\pm\sqrt{\frac{x^2+C}{x^6}}</math>)
 +
 +
'''2.''' <math>1+(x-e^{-y})y'=0\,</math>
 +
 +
MO.:
 +
:<math>1\mathrm{d}x+(x-e^{-y})\mathrm{d}y=0\,</math>
 +
:<math>\partial_y1-\partial_x(x-e^{-y})=.1\,</math>
 +
:<math>S(y)=-1\,</math>
 +
:<math>\mu(y)=e^{-\int -1\mathrm{d}y}=e^y\,</math>
 +
integráló szorzó.
 +
:<math>e^{y}\mathrm{d}x+(xe^{y}-1)\mathrm{d}y=0\,</math>
 +
:<math>(\partial x F,\partial_y F)=(e^{y},xe^{y}-1)</math>
 +
egy megoldását megkeresve:
 +
:<math>F=xe^{y}+C_1(y)</math>
 +
:<math>F=xe^{y}-y+C_2(x)</math>
 +
ahonnan:
 +
:<math>F(x,y)=xe^{y}-y</math>
 +
És az implicit általános megoldás:
 +
:<math>xe^{y}-y=C</math>; (<math>C\in\mathbf{R}</math>)

A lap 2016. június 3., 23:34-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Differenciálegyenletek

Fokszámban homogén egyenletek

1. y'=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}

MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u

u'x+u=\frac{1}{u}+2u
u'x=\frac{1+2u^2}{u}
\int\frac{u}{1+2u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x
\frac{1}{2}\int\frac{2u}{1+2u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x
\frac{1}{2}\ln|1+2u^2|=\ln|x|+C; (C\in\mathbf{R})
\ln |1+2u^2|=\ln c_1^2x^2\,; (c_1=\ln C\,)
1+2u^2=cx^2\,; \qquad(c>0)\,

Implicit mo.:

1+2\frac{y^2}{x^2}=cx^2\,

Explicit mo.:

y=x\cdot\left(\pm\sqrt{\frac{c}{2}}\sqrt{x^2-\frac{1}{c}}\right)
Itt |x|>\frac{1}{\sqrt{c}}

2. x^2y'=xy+y^2\,

MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:

x^2(u'x+u)=ux^2+u^2x^2\,

ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:

u'x+u=u+u^2\,
u'x=u^2\,
\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2}=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\,
-\frac{1}{u}=\ln |x|+C\,; (C\in\mathbf{R})

Implicit mo.:

-x=y\ln c|x|\,; (c=\ln C\,) és y=0

Explicit mo.:

y=\frac{-x}{\ln c|x|}\, és y=0.

3. x^2y'=2xy+y^2\,

MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:

u'x+u=2u+u^2\,
u'x=u+u^2\,
\int\frac{\mathrm{d}u}{u(u+1)}=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\,
\int\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\,
\ln|u|-\ln|u+1|=\ln |x|+C\,; (C\in\mathbf{R})
\ln\left|\frac{u}{u+1}\right|=\ln c_1|x|\,; (c_1=\ln C\,)
\frac{u}{u+1}= cx\,; (c\in\mathbf{R})

Implicit mo.:

y= c(xy+x^2)\,; (c\in\mathbf{R})

Explicit mo.:

y=\frac{cx^2}{1+cx}\,; (c\in\mathbf{R})

Kezdetiérték feladat

1. y'=e^{x-y}\,; (y(-1)=0)

MO.

y'=\frac{e^{x}}{e^{y}}\,
\int e^y\,\mathrm{d}y=\int e^{x}\mathrm{d}x\,

Implicit ált. mo.:

e^y=e^{x}+C\,; (C\in\mathbf{R})

Explicit általános mo.:

y=\ln(e^{x}+C)\,

Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:

e^{-1}=1+C\,
C=\frac{1}{e}-1\,

A kezdeti feltételt kielégítő mo.:

y=\ln(e^{x}+\frac{1}{e}-1)\,

2. y'=\frac{2xe^{x^2}}{y^5}\,; (y(0)=-1)

MO.

\int y^5\,\mathrm{d}y=\int 2xe^{x^2}\,\mathrm{d}x

Implicit ált. mo.:

\frac{y^6}{6}=e^{x^2}+C\,; (C\in\mathbf{R})

Explicit általános mo.:

y=\pm\sqrt[6]{6e^{x^2}+6C}\,; (C\in\mathbf{R})

Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:

-\frac{1}{6}=1+C\,
C=-\frac{1}{6}-1=-\frac{7}{6}\,

A kezdeti feltételt kielégítő mo.:

y=-\sqrt[6]{6e^{x^2}-7}\,

Egzaktra visszavezethető

1. \frac{1}{x^4}-3y^2=xyy'\,

MO.:

(\frac{1}{x^4}-3y^2)\,\mathrm{d}x-xy\,\mathrm{d}y=0\,
\partial_y(\frac{1}{x^4}-3y^2)-\partial_x(-xy)=-6y+y=-5y
R(x)=\frac{-5y}{-xy}=\frac{5}{x}
\mu(x)=e^{\int \frac{5}{x}\mathrm{d}x}=e^{5\ln|x|}=|x|^5

Tehát x5 alkalmas integráló szorzó.

x-3x^5y^2-x^6yy'=0\,

Innen az

(\partial x F,\partial_y F)=(x-3x^5y^2,-x^6y)

egy megoldását megkeresve:

F=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x^6y^2+C_1(y)
F=-\frac{1}{2}x^6y^2+C_2(x)

ahonnan:

F(x,y)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x^6y^2

És az implicit általános megoldás:

x2 − x6y2 = C; (C\in\mathbf{R})

(Az explicit pedig:

y=\pm\sqrt{\frac{x^2+C}{x^6}})

2. 1+(x-e^{-y})y'=0\,

MO.:

1\mathrm{d}x+(x-e^{-y})\mathrm{d}y=0\,
\partial_y1-\partial_x(x-e^{-y})=.1\,
S(y)=-1\,
\mu(y)=e^{-\int -1\mathrm{d}y}=e^y\,

integráló szorzó.

e^{y}\mathrm{d}x+(xe^{y}-1)\mathrm{d}y=0\,
(\partial x F,\partial_y F)=(e^{y},xe^{y}-1)

egy megoldását megkeresve:

F = xey + C1(y)
F = xey − y + C2(x)

ahonnan:

F(x,y) = xey − y

És az implicit általános megoldás:

xey − y = C; (C\in\mathbf{R})
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Szerkeszt%C5%91:Mozo/A3_gyakorl%C3%B3_feladatok_5.&oldid=11740”
Személyes eszközök