Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egzaktra visszavezethető) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egzaktra visszavezethető) |
||
97. sor: | 97. sor: | ||
:<math>(\partial x F,\partial_y F)=(x-3x^5y^2,-x^6y)</math> | :<math>(\partial x F,\partial_y F)=(x-3x^5y^2,-x^6y)</math> | ||
egy megoldását megkeresve: | egy megoldását megkeresve: | ||
− | :<math>F=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x^6y^2+C_1(y)</math> | + | :<math>F=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x^6y^2+C_1(y)\,</math> |
− | :<math>F=-\frac{1}{2}x^6y^2+C_2(x)</math> | + | :<math>F=-\frac{1}{2}x^6y^2+C_2(x)\,</math> |
ahonnan: | ahonnan: | ||
:<math>F(x,y)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x^6y^2</math> | :<math>F(x,y)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x^6y^2</math> | ||
És az implicit általános megoldás: | És az implicit általános megoldás: | ||
− | :<math>x^2-x^6y^2=C</math>; (<math>C\in\mathbf{R}</math>) | + | :<math>x^2-x^6y^2=C\,</math>; (<math>C\in\mathbf{R}</math>) |
(Az explicit pedig: | (Az explicit pedig: | ||
:<math>y=\pm\sqrt{\frac{x^2+C}{x^6}}</math>) | :<math>y=\pm\sqrt{\frac{x^2+C}{x^6}}</math>) | ||
117. sor: | 117. sor: | ||
:<math>(\partial x F,\partial_y F)=(e^{y},xe^{y}-1)</math> | :<math>(\partial x F,\partial_y F)=(e^{y},xe^{y}-1)</math> | ||
egy megoldását megkeresve: | egy megoldását megkeresve: | ||
− | :<math>F=xe^{y}+C_1(y)</math> | + | :<math>F=xe^{y}+C_1(y)\,</math> |
− | :<math>F=xe^{y}-y+C_2(x)</math> | + | :<math>F=xe^{y}-y+C_2(x)\,</math> |
ahonnan: | ahonnan: | ||
− | :<math>F(x,y)=xe^{y}-y</math> | + | :<math>F(x,y)=xe^{y}-y\,</math> |
És az implicit általános megoldás: | És az implicit általános megoldás: | ||
− | :<math>xe^{y}-y=C</math>; (<math>C\in\mathbf{R}</math>) | + | :<math>xe^{y}-y=C\,</math>; (<math>C\in\mathbf{R}</math>) |
A lap 2016. június 3., 23:36-kori változata
Tartalomjegyzék |
Differenciálegyenletek
Fokszámban homogén egyenletek
1.
MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
Explicit mo.:
- Itt
2.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:
- ;
Implicit mo.:
- ; és y=0
Explicit mo.:
- és y=0.
3.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
- ;
Explicit mo.:
- ;
Kezdetiérték feladat
1. ; (y(-1)=0)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
2. ; (y(0)=-1)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
- ; ()
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
Egzaktra visszavezethető
1.
MO.:
Tehát x5 alkalmas integráló szorzó.
Innen az
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
(Az explicit pedig:
- )
2.
MO.:
integráló szorzó.
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()