Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvényegyütthatós lineáris egyenlet) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvényegyütthatós lineáris egyenlet) |
||
137. sor: | 137. sor: | ||
:<math>c'x^3+3cx^2-3cx^2=\frac{1}{\cos^2\left(\frac{1}{x^2}\right)}</math> | :<math>c'x^3+3cx^2-3cx^2=\frac{1}{\cos^2\left(\frac{1}{x^2}\right)}</math> | ||
:<math>c'=\frac{-1}{2}\frac{-2}{x^3}\frac{1}{\cos^2\left(\frac{1}{x^2}\right)}</math> | :<math>c'=\frac{-1}{2}\frac{-2}{x^3}\frac{1}{\cos^2\left(\frac{1}{x^2}\right)}</math> | ||
+ | :<math>c=\frac{-1}{2}\mathrm{tg}\left(\frac{1}{x^2}\right)</math> | ||
+ | így az általános mo.: | ||
+ | :<math>y=cx^3+\frac{-1}{2}x^3\mathrm{tg}\left(\frac{1}{x^2}\right)</math> | ||
+ | |||
+ | '''2.''' <math>y'+(\ln x^3)y=\ln x</math> | ||
+ | |||
+ | ''MO.'' I.) Homogén. y≡0 (x>0) mo. | ||
+ | :<math>\int\frac{1}{y}\mathrm{d}y=\int -3\ln x\,\mathrm{d}x=</math> | ||
+ | :<math>\ln|y|=-3(x+x\ln x)+C=</math> | ||
+ | :<math>y=ce^{-3(x+x\ln x)}=</math> | ||
+ | II.) Az inhomogén partikuláris megoládást | ||
+ | :<math>y=c(x)e^{-3(x+x\ln x)}=</math> | ||
+ | Behelyettesítés után: | ||
+ | :<math>c'e^{-3(x+x\ln x)}+ce^{-3(x+x\ln x)}(-3\lnx)+ce^{-3(x+x\ln x)}\ln x^3=\ln x</math> | ||
+ | :<math>c'=e^{3(x+x\ln x)}</math> | ||
:<math>c=\frac{-1}{2}\mathrm{tg}\left(\frac{1}{x^2}\right)</math> | :<math>c=\frac{-1}{2}\mathrm{tg}\left(\frac{1}{x^2}\right)</math> | ||
így az általános mo.: | így az általános mo.: | ||
:<math>y=cx^3+\frac{-1}{2}x^3\mathrm{tg}\left(\frac{1}{x^2}\right)</math> | :<math>y=cx^3+\frac{-1}{2}x^3\mathrm{tg}\left(\frac{1}{x^2}\right)</math> |
A lap 2016. június 4., 09:50-kori változata
Tartalomjegyzék |
Differenciálegyenletek
Fokszámban homogén egyenletek
1.
MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
Explicit mo.:
- Itt
2.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:
- ;
Implicit mo.:
- ; és y=0
Explicit mo.:
- és y=0.
3.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
- ;
Explicit mo.:
- ;
Kezdetiérték feladat
1. ; (y(-1)=0)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
2. ; (y(0)=-1)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
- ; ()
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
Egzaktra visszavezethető
1.
MO.:
Tehát x5 alkalmas integráló szorzó.
Innen az
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
(Az explicit pedig:
- )
2.
MO.:
integráló szorzó.
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
Függvényegyütthatós lineáris egyenlet
1.
MO. I.) Homogén. y≡0 mo.
- ln | y | = 3ln | x | + C =
- y = cx3 =
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
- y = c(x)x3 =
alakban keressük:
- y' = c'x3 + c3x2
Behelyettesítés után:
így az általános mo.:
2. y' + (lnx3)y = lnx
MO. I.) Homogén. y≡0 (x>0) mo.
- ln | y | = − 3(x + xlnx) + C =
- y = ce − 3(x + xlnx) =
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
- y = c(x)e − 3(x + xlnx) =
Behelyettesítés után:
- Értelmezés sikertelen (ismeretlen függvény\lnx): c'e^{-3(x+x\ln x)}+ce^{-3(x+x\ln x)}(-3\lnx)+ce^{-3(x+x\ln x)}\ln x^3=\ln x
- c' = e3(x + xlnx)
így az általános mo.: