Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvényegyütthatós lineáris egyenlet) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvényegyütthatós lineáris egyenlet) |
||
128. sor: | 128. sor: | ||
''MO.'' I.) Homogén. y≡0 mo. | ''MO.'' I.) Homogén. y≡0 mo. | ||
:<math>\int\frac{1}{y}\mathrm{d}y=\int\frac{3}{x}\mathrm{d}x=</math> | :<math>\int\frac{1}{y}\mathrm{d}y=\int\frac{3}{x}\mathrm{d}x=</math> | ||
− | :<math>\ln|y|=3\ln|x|+C | + | :<math>\ln|y|=3\ln|x|+C\,</math> |
− | :<math>y=cx^3 | + | :<math>y=cx^3\,</math> |
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást | II.) Az inhomogén partikuláris megoládást | ||
− | :<math>y=c(x)x^3 | + | :<math>y=c(x)x^3\,</math> |
− | alakban keressük | + | alakban keressük. |
− | :<math>y'=c'x^3+c3x^2</math> | + | :<math>y'=c'x^3+c3x^2\,</math> |
Behelyettesítés után: | Behelyettesítés után: | ||
:<math>c'x^3+3cx^2-3cx^2=\frac{1}{\cos^2\left(\frac{1}{x^2}\right)}</math> | :<math>c'x^3+3cx^2-3cx^2=\frac{1}{\cos^2\left(\frac{1}{x^2}\right)}</math> | ||
141. sor: | 141. sor: | ||
:<math>y=cx^3+\frac{-1}{2}x^3\mathrm{tg}\left(\frac{1}{x^2}\right)</math> | :<math>y=cx^3+\frac{-1}{2}x^3\mathrm{tg}\left(\frac{1}{x^2}\right)</math> | ||
− | '''2.''' <math>y'+(\ln x^3)y=\ln x</math> | + | '''2.''' <math>y'+(\ln x^3)y=\ln x\,</math> |
''MO.'' I.) Homogén. y≡0 (x>0) mo. | ''MO.'' I.) Homogén. y≡0 (x>0) mo. | ||
− | :<math>\int\frac{1}{y}\mathrm{d}y=\int -3\ln x\,\mathrm{d}x | + | :<math>\int\frac{1}{y}\mathrm{d}y=\int -3\ln x\,\mathrm{d}x</math> |
− | :<math>\ln|y|=-3(x+x\ln x)+C | + | :<math>\ln|y|=-3(x+x\ln x)+C\,</math> |
− | :<math>y=ce^{-3(x+x\ln x)} | + | :<math>y=ce^{-3(x+x\ln x)}\,</math> |
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást | II.) Az inhomogén partikuláris megoládást | ||
− | :<math>y=c(x)e^{-3(x+x\ln x)} | + | :<math>y=c(x)e^{-3(x+x\ln x)}\,</math> |
− | Behelyettesítés után: | + | alakban keressük. Behelyettesítés után: |
− | :<math>c'e^{-3(x+x\ln x)}+ce^{-3(x+x\ln x)}(-3\ | + | :<math>c'e^{-3(x+x\ln x)}+ce^{-3(x+x\ln x)}(-3\ln x)+ce^{-3(x+x\ln x)}\ln x^3=\ln x\,</math> |
− | :<math>c'=e^{3(x+x\ln x)}</math> | + | :<math>c'=e^{3(x+x\ln x)}\ln x\,</math> |
− | :<math>c=\frac{ | + | :<math>c=\frac{1}{3}e^{3(x+x\ln x)}</math> |
így az általános mo.: | így az általános mo.: | ||
− | :<math>y= | + | :<math>y=ce^{-3(x+x\ln x)}+\frac{1}{3}</math> |
A lap 2016. június 4., 09:53-kori változata
Tartalomjegyzék |
Differenciálegyenletek
Fokszámban homogén egyenletek
1.
MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
Explicit mo.:
- Itt
2.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:
- ;
Implicit mo.:
- ; és y=0
Explicit mo.:
- és y=0.
3.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
- ;
Explicit mo.:
- ;
Kezdetiérték feladat
1. ; (y(-1)=0)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
2. ; (y(0)=-1)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
- ; ()
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
Egzaktra visszavezethető
1.
MO.:
Tehát x5 alkalmas integráló szorzó.
Innen az
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
(Az explicit pedig:
- )
2.
MO.:
integráló szorzó.
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
Függvényegyütthatós lineáris egyenlet
1.
MO. I.) Homogén. y≡0 mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük.
Behelyettesítés után:
így az általános mo.:
2.
MO. I.) Homogén. y≡0 (x>0) mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük. Behelyettesítés után:
így az általános mo.: