Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvényegyütthatós lineáris egyenlet) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvényegyütthatós lineáris egyenlet) |
||
123. sor: | 123. sor: | ||
És az implicit általános megoldás: | És az implicit általános megoldás: | ||
:<math>xe^{y}-y=C\,</math>; (<math>C\in\mathbf{R}</math>) | :<math>xe^{y}-y=C\,</math>; (<math>C\in\mathbf{R}</math>) | ||
+ | ===Lineáris argumentumú egyenlet=== | ||
+ | '''1.''' <math>y'=(4x-y)^2</math> | ||
+ | |||
+ | ''MO.'' ''u=4x-y''; ''u'=4-y' '' | ||
+ | |||
+ | :<math>4-u'=u^2</math> | ||
+ | :<math>4-u^2=u'</math> | ||
+ | :<math>\int\frac{\mathrm{d}u}{4-u^2}=\int 1\mathrm{d}x</math> | ||
+ | :<math>-\int\frac{\mathrm{d}u}{(u-2)(u+2)}=\int 1\mathrm{d}x</math> | ||
+ | :<math>-\int\frac{\frac{1}{4}}{u-2}-\frac{\frac{1}{4}}{u+2}\mathrm{d}u=\int 1\mathrm{d}x</math> | ||
+ | |||
+ | |||
===Függvényegyütthatós lineáris egyenlet=== | ===Függvényegyütthatós lineáris egyenlet=== | ||
'''1.''' <math>y'-\frac{3}{x}y=\frac{1}{\cos^2\left(\frac{1}{x^2}\right)}</math> | '''1.''' <math>y'-\frac{3}{x}y=\frac{1}{\cos^2\left(\frac{1}{x^2}\right)}</math> |
A lap 2016. június 4., 10:08-kori változata
Tartalomjegyzék |
Differenciálegyenletek
Fokszámban homogén egyenletek
1.
MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
Explicit mo.:
- Itt
2.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:
- ;
Implicit mo.:
- ; és y=0
Explicit mo.:
- és y=0.
3.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
- ;
Explicit mo.:
- ;
Kezdetiérték feladat
1. ; (y(-1)=0)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
2. ; (y(0)=-1)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
- ; ()
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
Egzaktra visszavezethető
1.
MO.:
Tehát x5 alkalmas integráló szorzó.
Innen az
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
(Az explicit pedig:
- )
2.
MO.:
integráló szorzó.
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
Lineáris argumentumú egyenlet
1. y' = (4x − y)2
MO. u=4x-y; u'=4-y'
- 4 − u' = u2
- 4 − u2 = u'
Függvényegyütthatós lineáris egyenlet
1.
MO. I.) Homogén. y≡0 mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük.
Behelyettesítés után:
így az általános mo.:
2.
MO. I.) Homogén. y≡0 (x>0) mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük. Behelyettesítés után:
így az általános mo.: