Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Lineáris argumentumú egyenlet) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Lineáris argumentumú egyenlet) |
||
129. sor: | 129. sor: | ||
:<math>4-u'=u^2\,</math> | :<math>4-u'=u^2\,</math> | ||
− | :<math>4-u^2=u'\,</math>; | + | :<math>4-u^2=u'\,</math>; konstans megoldások: <math>u= \pm 2</math> |
− | :<math>\int\frac{\mathrm{d}u}{4-u^2}=\int 1\mathrm{d}x</math> | + | :<math>\int\frac{\mathrm{d}u}{4-u^2}=\int 1\mathrm{d}x</math>; (ha <math>u\ne \pm 2</math>) |
:<math>-\int\frac{\mathrm{d}u}{(u-2)(u+2)}=\int 1\mathrm{d}x</math> | :<math>-\int\frac{\mathrm{d}u}{(u-2)(u+2)}=\int 1\mathrm{d}x</math> | ||
:<math>-\int\frac{\frac{1}{4}}{u-2}-\frac{\frac{1}{4}}{u+2}\mathrm{d}u=\int 1\mathrm{d}x</math> | :<math>-\int\frac{\frac{1}{4}}{u-2}-\frac{\frac{1}{4}}{u+2}\mathrm{d}u=\int 1\mathrm{d}x</math> | ||
142. sor: | 142. sor: | ||
''MO.'' ''u=x+y''; ''u'=1+y' '' | ''MO.'' ''u=x+y''; ''u'=1+y' '' | ||
− | :<math>u'-1=\cos^2(u)-1\,</math>; <math>u | + | :<math>u'-1=\cos^2(u)-1\,</math>; konstans megoldások: <math>u=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> |
− | :<math>\int\frac{\mathrm{d}x}{\cos^2u}=\int 1\,\mathrm{d}x\,</math> | + | :<math>\int\frac{\mathrm{d}x}{\cos^2u}=\int 1\,\mathrm{d}x\,</math>; (ha <math>u\ne\frac{\pi}{2}+k\pi</math>) |
:<math>\mathrm{tg}(u)=x+C\,</math> | :<math>\mathrm{tg}(u)=x+C\,</math> | ||
Implicit általános mo.: | Implicit általános mo.: |
A lap 2016. június 4., 10:29-kori változata
Tartalomjegyzék |
Differenciálegyenletek
Fokszámban homogén egyenletek
1.
MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
Explicit mo.:
- Itt
2.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:
- ;
Implicit mo.:
- ; és y=0
Explicit mo.:
- és y=0.
3.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
- ;
Explicit mo.:
- ;
Kezdetiérték feladat
1. ; (y(-1)=0)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
2. ; (y(0)=-1)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
- ; ()
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
Egzaktra visszavezethető
1.
MO.:
Tehát x5 alkalmas integráló szorzó.
Innen az
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
(Az explicit pedig:
- )
2.
MO.:
integráló szorzó.
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
Lineáris argumentumú egyenlet
1.
MO. u=4x-y; u'=4-y'
- ; konstans megoldások:
- ; (ha )
Implicit általános megoldás:
- és az szeparálással ki nem hozható két megoldás:
2.
MO. u=x+y; u'=1+y'
- ; konstans megoldások:
- ; (ha )
Implicit általános mo.:
- és a szeparálással ki nem hozható megoldások:
Függvényegyütthatós lineáris egyenlet
1.
MO. I.) Homogén. y≡0 mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük.
Behelyettesítés után:
így az általános mo.:
2.
MO. I.) Homogén. y≡0 (x>0) mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük. Behelyettesítés után:
így az általános mo.: