Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laplace-transzformációval megoldható feladatok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laplace-transzformációval megoldható feladatok) |
||
184. sor: | 184. sor: | ||
: <math>\mathcal{L}\{a f(t)\} = a \mathcal{L}\{ f(t)\}</math> | : <math>\mathcal{L}\{a f(t)\} = a \mathcal{L}\{ f(t)\}</math> | ||
− | :<math>f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}\,</math> <math>F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}</math> | + | |
− | :<math>f(t) = 1\,</math> <math>F(s) = \frac{1}{s}</math> | + | :<math>f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}\,</math> <math>\mapsto \,</math> <math>F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}</math> |
− | :<math>f(t) = t\,</math> <math>F(s) = \frac{1}{s^2}</math> | + | :<math>f(t) = 1\,</math> <math>\mapsto \,</math> <math>F(s) = \frac{1}{s}</math> |
− | :<math>f(t) = t^n\,</math> <math>F(s) = \frac{n!}{s^{n+1}}</math> | + | :<math>f(t) = t\,</math> <math>\mapsto \,</math><math>F(s) = \frac{1}{s^2}</math> |
− | :<math>f(t) = \sin (\omega t)\,</math> <math>F(s) = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}</math> | + | :<math>f(t) = t^n\,</math> <math>\mapsto \,</math><math>F(s) = \frac{n!}{s^{n+1}}</math> |
− | :<math>f(t) = \cos (\omega t)\,</math> <math>F(s) = \frac{s}{s^2+\omega^2}</math> | + | :<math>f(t) = \sin (\omega t)\,</math> <math>\mapsto \,</math><math>F(s) = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}</math> |
+ | :<math>f(t) = \cos (\omega t)\,</math> <math>\mapsto \,</math><math>F(s) = \frac{s}{s^2+\omega^2}</math> | ||
A lap 2016. június 4., 11:12-kori változata
Tartalomjegyzék |
Differenciálegyenletek
Fokszámban homogén egyenletek
1.
MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
Explicit mo.:
- Itt
2.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:
- ;
Implicit mo.:
- ; és y=0
Explicit mo.:
- és y=0.
3.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
- ;
Explicit mo.:
- ;
Kezdetiérték feladat
1. ; (y(-1)=0)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
2. ; (y(0)=-1)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
- ; ()
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
Egzaktra visszavezethető
1.
MO.:
Tehát x5 alkalmas integráló szorzó.
Innen az
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
(Az explicit pedig:
- )
2.
MO.:
integráló szorzó.
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
Lineáris argumentumú egyenlet
1.
MO. u=4x-y; u'=4-y'
- ; konstans megoldások:
- ; (ha )
Implicit általános megoldás:
- és az szeparálással ki nem hozható két megoldás:
2.
MO. u=x+y; u'=1+y'
- ; konstans megoldások:
- ; (ha )
Implicit általános mo.:
- és a szeparálással ki nem hozható megoldások:
Függvényegyütthatós lineáris egyenlet
1.
MO. I.) Homogén. y≡0 mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük.
Behelyettesítés után:
így az általános mo.:
2.
MO. I.) Homogén. y≡0 (x>0) mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük. Behelyettesítés után:
így az általános mo.:
Laplace-transzformációval megoldható feladatok
1. x(0)=1; y(0)=-1 kezdeti feltétellel oldja meg az
egyenletrendszert!
MO.
Ebből kell kifejezni X-et és Y-t. Egyszerű a megoldás, ha észrevesszük, hogy ezeket összeadva:
ami minden s-re csak akkor teljesül, ha X=-Y. (De egyenletrendezéssel és megy, ha az egyik egyenletből az s-sel meg nem szorzott változót kifejezzük és a másodikbe helyettesítjük, pl. az elsőből az Y-t kifejezzük.) Innen pl. az első egyenletből:
Ezt visszatranszformálva:
És y=-x miatt:
2. y(0)=0; y'(0)=0 kezdeti feltétellel oldja meg az
- y'' + 9y = x
egyenletet!
MO.