Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laplace-transzformációval megoldható feladatok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laplace-transzformációval megoldható feladatok) |
||
199. sor: | 199. sor: | ||
− | '''1.''' x(0)=1; y(0)=-1 kezdeti feltétellel oldja meg az | + | '''1.''' x(0)=1; y(0)=-1 '''kezdeti feltétellel''' oldja meg az |
:<math>\dot{x}=3x+4y</math> | :<math>\dot{x}=3x+4y</math> | ||
:<math>\dot{y}=4x+3y</math> | :<math>\dot{y}=4x+3y</math> | ||
220. sor: | 220. sor: | ||
− | '''2.''' y(0)=0; y'(0)=0 kezdeti feltétellel oldja meg az | + | '''2.''' y(0)=0; y'(0)=0 '''kezdeti feltétellel''' oldja meg az |
:<math>y''+9y=x\,</math> | :<math>y''+9y=x\,</math> | ||
egyenletet! | egyenletet! | ||
232. sor: | 232. sor: | ||
Innen visszatranszformálva: | Innen visszatranszformálva: | ||
:<math>y=\frac{1}{9}x-\frac{1}{27}\sin(3x)\,</math> | :<math>y=\frac{1}{9}x-\frac{1}{27}\sin(3x)\,</math> | ||
+ | ===Próbafüggvény módszerrel megoldható egyenletek=== | ||
+ | Homogén egyenlet megoldása: | ||
+ | |||
+ | :<math>y''+ay'+by=0\,\mapsto \lambda^2+\lambda+1=0\,</math> (karakterisztikus polinom) | ||
+ | :<math>\lambda_{1,2}=\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}</math>, akkor <math>y_H=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\,</math> | ||
+ | :<math>\lambda_{1,2}=\lambda</math>, akkor <math>y_H=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,</math> | ||
+ | :<math>\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta</math>, akkor <math>y_H=C_1e^{\alpha x}\cos{\beta x}+C_2e^{\alpha x}\sin{\beta x}\,</math> | ||
+ | |||
+ | Inhomogén partikuláris alakja rezonaniák nélkül, spéci esetekben: | ||
+ | |||
+ | :<math>y''+ay'+by=f(x)\,</math>, és | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<math>f(x)=7x-8\,</math>, akkor <math>y_P=Ax+B\,</math> | ||
+ | :<math>f(x)=5x^2-4x+2\,</math>, akkor <math>y_P=Ax^2+Bx+C\,</math> | ||
+ | :<math>f(x)=8e^{ax}\,</math>, akkor <math>y_P=Ae^{ax}\,</math> | ||
+ | :<math>f(x)=7\sin(bx)\,</math>, akkor <math>y_P=A\cos(bx)+B\sin(bx)\,</math> | ||
+ | |||
+ | Általános (exp., trig., pol.) esetben pedig ha | ||
+ | |||
+ | :<math>f(x)=e^{ax}(p(x)\cos(bx)+q(x)\sin(bx))\,</math>, | ||
+ | akkor | ||
+ | :<math>y_P=x^me^{ax}(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx))\,</math> | ||
+ | ahol <math>a\pm ib\,</math> a karakterisztikus polinomnak ''m''-szeres gyöke és deg{P}=deg{Q}=max{deg P, deg Q} (úgy értve, hogy deg 0=-∞) | ||
+ | |||
+ | '''1.''' Adja meg az | ||
+ | :<math>y''+9y=x\,</math> | ||
+ | egyenletet általános megoldását! | ||
+ | |||
+ | ''MO.'' |
A lap 2016. június 4., 11:43-kori változata
Tartalomjegyzék |
Differenciálegyenletek
Fokszámban homogén egyenletek
1.
MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
Explicit mo.:
- Itt
2.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:
- ;
Implicit mo.:
- ; és y=0
Explicit mo.:
- és y=0.
3.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
- ;
Explicit mo.:
- ;
Kezdetiérték feladat
1. ; (y(-1)=0)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
2. ; (y(0)=-1)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
- ; ()
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
Egzaktra visszavezethető
1.
MO.:
Tehát x5 alkalmas integráló szorzó.
Innen az
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
(Az explicit pedig:
- )
2.
MO.:
integráló szorzó.
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
Lineáris argumentumú egyenlet
1.
MO. u=4x-y; u'=4-y'
- ; konstans megoldások:
- ; (ha )
Implicit általános megoldás:
- és az szeparálással ki nem hozható két megoldás:
2.
MO. u=x+y; u'=1+y'
- ; konstans megoldások:
- ; (ha )
Implicit általános mo.:
- és a szeparálással ki nem hozható megoldások:
Függvényegyütthatós lineáris egyenlet
1.
MO. I.) Homogén. y≡0 mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük.
Behelyettesítés után:
így az általános mo.:
2.
MO. I.) Homogén. y≡0 (x>0) mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük. Behelyettesítés után:
így az általános mo.:
Laplace-transzformációval megoldható feladatok
1. x(0)=1; y(0)=-1 kezdeti feltétellel oldja meg az
egyenletrendszert!
MO.
Ebből kell kifejezni X-et és Y-t. Egyszerű a megoldás, ha észrevesszük, hogy ezeket összeadva:
ami minden s-re csak akkor teljesül, ha X=-Y. (De egyenletrendezéssel is megy, ha az egyik egyenletből az s-sel meg nem szorzott változót kifejezzük és a másodikbe helyettesítjük, pl. az elsőből az Y-t kifejezzük.) Innen pl. az első egyenletből:
Ezt visszatranszformálva:
És y=-x miatt:
2. y(0)=0; y'(0)=0 kezdeti feltétellel oldja meg az
egyenletet!
MO.
Innen visszatranszformálva:
Próbafüggvény módszerrel megoldható egyenletek
Homogén egyenlet megoldása:
- (karakterisztikus polinom)
- , akkor
- λ1,2 = λ, akkor
- , akkor
Inhomogén partikuláris alakja rezonaniák nélkül, spéci esetekben:
- , és
- , akkor
- , akkor
- , akkor
- , akkor
Általános (exp., trig., pol.) esetben pedig ha
- ,
akkor
ahol a karakterisztikus polinomnak m-szeres gyöke és deg{P}=deg{Q}=max{deg P, deg Q} (úgy értve, hogy deg 0=-∞)
1. Adja meg az
egyenletet általános megoldását!
MO.