Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Próbafüggvény módszerrel megoldható egyenletek) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Próbafüggvény módszerrel megoldható egyenletek) |
||
236. sor: | 236. sor: | ||
:<math>y''+ay'+by=0\,\mapsto \lambda^2+r\lambda+s=0\,</math> (karakterisztikus polinom) | :<math>y''+ay'+by=0\,\mapsto \lambda^2+r\lambda+s=0\,</math> (karakterisztikus polinom) | ||
− | :<math>\,\lambda_{1,2}=\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}</math>, akkor <math>y_H=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\,</math> | + | :<math>\,\lambda_{1,2}=\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}</math>, akkor <math>y_H=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\,</math> (belső rezonancia) |
:<math>\,\lambda_{1,2}=\lambda</math>, akkor <math>y_H=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,</math> | :<math>\,\lambda_{1,2}=\lambda</math>, akkor <math>y_H=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,</math> | ||
:<math>\,\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta</math>, akkor <math>y_H=C_1e^{\alpha x}\cos{\beta x}+C_2e^{\alpha x}\sin{\beta x}\,</math> | :<math>\,\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta</math>, akkor <math>y_H=C_1e^{\alpha x}\cos{\beta x}+C_2e^{\alpha x}\sin{\beta x}\,</math> | ||
255. sor: | 255. sor: | ||
akkor | akkor | ||
:<math>y_P=x^me^{ax}(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx))\,</math> | :<math>y_P=x^me^{ax}(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx))\,</math> | ||
− | ahol <math>a\pm ib\,</math> a karakterisztikus polinomnak ''m''-szeres gyöke és deg{P}=deg{Q}=max{deg P, deg Q} polinomok (úgy értve, hogy deg 0=-∞) | + | ahol <math>a\pm ib\,</math> a karakterisztikus polinomnak ''m''-szeres gyöke és deg{P}=deg{Q}=max{deg P, deg Q} polinomok (úgy értve, hogy deg 0=-∞). Tehát ha m>0, akkor külső rezonancia van. |
'''1.''' Adja meg az | '''1.''' Adja meg az | ||
292. sor: | 292. sor: | ||
'''c.''' <math>y''-3y'+2y=xe^{x}\,</math> | '''c.''' <math>y''-3y'+2y=xe^{x}\,</math> | ||
− | ''Mo. vázlat.'' <math>\lambda^2-3\lambda+2=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=1;\qquad 2\,</math>. Innen | + | ''Mo. vázlat.'' <math>\lambda^2-3\lambda+2=0\,</math>, azaz <math>\lambda_{1,2}=\qquad 1;\qquad 2\,</math>. Innen |
:<math>y_H(x)=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\,</math> | :<math>y_H(x)=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\,</math> | ||
Mivel | Mivel |
A lap 2016. június 4., 12:22-kori változata
Tartalomjegyzék |
Differenciálegyenletek
Fokszámban homogén egyenletek
1.
MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
Explicit mo.:
- Itt
2.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:
- ;
Implicit mo.:
- ; és y=0
Explicit mo.:
- és y=0.
3.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
- ;
Explicit mo.:
- ;
Kezdetiérték feladat
1. ; (y(-1)=0)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
2. ; (y(0)=-1)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
- ; ()
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
Egzaktra visszavezethető
1.
MO.:
Tehát x5 alkalmas integráló szorzó.
Innen az
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
(Az explicit pedig:
- )
2.
MO.:
integráló szorzó.
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
Lineáris argumentumú egyenlet
1.
MO. u=4x-y; u'=4-y'
- ; konstans megoldások:
- ; (ha )
Implicit általános megoldás:
- és az szeparálással ki nem hozható két megoldás:
2.
MO. u=x+y; u'=1+y'
- ; konstans megoldások:
- ; (ha )
Implicit általános mo.:
- és a szeparálással ki nem hozható megoldások:
Függvényegyütthatós lineáris egyenlet
1.
MO. I.) Homogén. y≡0 mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük.
Behelyettesítés után:
így az általános mo.:
2.
MO. I.) Homogén. y≡0 (x>0) mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük. Behelyettesítés után:
így az általános mo.:
Laplace-transzformációval megoldható feladatok
1. x(0)=1; y(0)=-1 kezdeti feltétellel oldja meg az
egyenletrendszert!
MO.
Ebből kell kifejezni X-et és Y-t. Egyszerű a megoldás, ha észrevesszük, hogy ezeket összeadva:
ami minden s-re csak akkor teljesül, ha X=-Y. (De egyenletrendezéssel is megy, ha az egyik egyenletből az s-sel meg nem szorzott változót kifejezzük és a másodikbe helyettesítjük, pl. az elsőből az Y-t kifejezzük.) Innen pl. az első egyenletből:
Ezt visszatranszformálva:
És y=-x miatt:
2. y(0)=0; y'(0)=0 kezdeti feltétellel oldja meg az
egyenletet!
MO.
Innen visszatranszformálva:
Próbafüggvény módszerrel megoldható egyenletek
Homogén egyenlet megoldása:
- (karakterisztikus polinom)
- , akkor (belső rezonancia)
- , akkor
- , akkor
Inhomogén partikuláris alakja rezonaniák nélkül, spéci esetekben:
- , és
- , akkor
- , akkor
- , akkor
- , akkor
Általános (exp., trig., pol.) esetben pedig ha
- ,
akkor
ahol a karakterisztikus polinomnak m-szeres gyöke és deg{P}=deg{Q}=max{deg P, deg Q} polinomok (úgy értve, hogy deg 0=-∞). Tehát ha m>0, akkor külső rezonancia van.
1. Adja meg az
egyenlet általános megoldását!
MO. , mert gyökei
Ezt behelyettesítve az egyenletbe:
Tehát és , így az általános megoldás: ,
2. (Rezonanciás feladatok)
a.
Mo. vázlat. , azaz . Innen
- yH(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x)
Mivel
ezért a + bi = 3i egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az
alakban keresendő.
b.
Mo. vázlat. , azaz . Innen
Mivel
ezért a = 2 kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az
alakban keresendő.
c.
Mo. vázlat. , azaz . Innen
Mivel
ezért a = 1 egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=1 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik (sin(0)=0), de P(x)=Ax+B elsőfokú, mert p(x)=x (hiszen cos(0)=1 és ez megmaradt), így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az
alakban keresendő.