Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.
Tartalomjegyzék |
Differenciálegyenletek
Fokszámban homogén egyenletek
1.
MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
Explicit mo.:
- Itt
2.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:
- ;
Implicit mo.:
- ; és y=0
Explicit mo.:
- és y=0.
3.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
- ;
Explicit mo.:
- ;
Kezdetiérték feladat
1. ; (y(-1)=0)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
2. ; (y(0)=-1)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
- ; ()
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
Egzaktra visszavezethető
1.
MO.:
Tehát x5 alkalmas integráló szorzó.
Innen az
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
(Az explicit pedig:
- )
2.
MO.:
integráló szorzó.
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
Függvényegyütthatós lineáris egyenlet
1.
MO. I.) Homogén. y≡0 mo.
- ln | y | = 3ln | x | + C =
- y = cx3 =
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
- y = c(x)x3 =
alakban keressük:
- y' = c'x3 + c3x2
Behelyettesítés után:
így az általános mo.:
2. y' + (lnx3)y = lnx
MO. I.) Homogén. y≡0 (x>0) mo.
- ln | y | = − 3(x + xlnx) + C =
- y = ce − 3(x + xlnx) =
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
- y = c(x)e − 3(x + xlnx) =
Behelyettesítés után:
- Értelmezés sikertelen (ismeretlen függvény\lnx): c'e^{-3(x+x\ln x)}+ce^{-3(x+x\ln x)}(-3\lnx)+ce^{-3(x+x\ln x)}\ln x^3=\ln x
- c' = e3(x + xlnx)
így az általános mo.: