Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.

_{<Matematika A3a 2008}

Differenciálegyenletek

Fokszámban homogén egyenletek

1. $y'=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}$

MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u

$u'x+u=\frac{1}{u}+2u$

$u'x=\frac{1+2u^2}{u}$

$\int\frac{u}{1+2u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$

$\frac{1}{2}\int\frac{2u}{1+2u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$

$\frac{1}{2}\ln|1+2u^2|=\ln|x|+C$; $(C\in\mathbf{R})$

$\ln |1+2u^2|=\ln c_1^2x^2\,$; $(c_1=\ln C\,)$

$1+2u^2=cx^2\,$; $\qquad(c>0)\,$

Implicit mo.:

$1+2\frac{y^2}{x^2}=cx^2\,$

Explicit mo.:

$y=x\cdot\left(\pm\sqrt{\frac{c}{2}}\sqrt{x^2-\frac{1}{c}}\right)$

Itt $|x|>\frac{1}{\sqrt{c}}$

2. $x^2y'=xy+y^2\,$

MO. y≡0 mo.